Mostre que:
Em uma semi-reta A B existem infinitos pontos além daqueles contidos no scgmento A B.

Passo 1

O enunciado dá uma semi-reta AB (isto é, a reta que parte de A e passa por B, contendo todos os pontos no sentido de B a partir de A). O que se pede é mostrar que existem infinitos pontos na semi-reta AB que não pertencem ao segmento AB (ou seja, pontos da semi-reta além do extremo B).
Informações relevantes:
  • Temos os pontos A e B.
  • A semi-reta AB contém todos os pontos situados em linha reta a partir de A na direção de B.
  • O segmento AB é o conjunto de pontos entre A e B, inclusive os extremos.
  • É preciso provar que existem infinitos pontos na semi-reta AB que ficam fora do segmento AB (isto é, “além” de B).

Passo 2

Vamos primeiro lembrar e explicar com cuidado o que significam os termos, porque eles serão usados na demonstração.
Definições e ideias básicas:
  • Segmento AB: conjunto de pontos entre A e B. Em particular, o comprimento do segmento AB é uma quantidade positiva que chamaremos de \,AB.
  • Semi-reta AB: todos os pontos da reta que passam por A e B e que estão no mesmo lado de A que B. Em outras palavras, é o conjunto de pontos X na reta AB tais que A, B e X estão colineares e X não está no lado oposto a B em relação a A.
  • Dois segmentos têm o mesmo comprimento se são congruentes; geometricamente, pode-se “transladar” um segmento ao longo da reta ou usar compasso para marcar comprimentos iguais sucessivamente sobre uma semi-reta.
Essas são noções elementares de geometria plana (segmento, semi-reta, congruência de segmentos). Agora vamos construir explicitamente uma sequência infinita de pontos na semi-reta além de B.

Passo 3

Construção geométrica concreta (método por marcações sucessivas):
  • Tome o segmento AB. Com um compasso ou por congruência, é possível marcar sobre a mesma semi-reta AB uma quantidade igual ao comprimento AB começando em B e seguindo a direção de A\to B.
  • Defina P_2 como o ponto da semi-reta AB tal que AP_2 = 2\cdot AB.Esse ponto existe porque basta, a partir de A, medir duas vezes o comprimento AB ao longo da mesma semi-reta; geometricamente é a composição de dois segmentos congruentes a AB.
  • De modo análogo, para cada inteiro n\geq 1 define-se P_n como o ponto da semi-reta AB tal que AP_n = n\cdot AB.Para n=1 obtemos P_1=B. Para n\ge 2, P_n está além de B, porque AP_n = n\cdot AB > AB.

Passo 4

Por que os pontos P_n são todos distintos e, portanto, infinitos?
  • Suponha que m e n sejam inteiros com m\neq n. Se por absurdo P_m=P_n então teríamos AP_m = AP_n.Mas pela definição AP_m = m\cdot AB e AP_n = n\cdot AB. Assim m\cdot AB = n\cdot AB.Como AB>0, podemos dividir por AB e obter m=n, contradição. Logo P_m\neq P_n sempre que m\neq n.
  • Portanto a família \{P_n\}_{n\in\mathbb{N}} é infinita e constitui pontos todos sobre a semi-reta AB. Além disso, para todo n\ge 2 temos P_n\notin segmento AB porque AP_n>AB.

Passo 5

Uma explicação alternativa, mais algébrica (coordenização), para quem gosta de números:
  • Coloque um sistema de coordenadas ao longo da reta AB de modo que A fique na posição 0 e B na posição 1. Então pontos da semi-reta AB correspondem a números reais t com t\ge 0. O segmento AB corresponde ao intervalo [0,1].
  • Os pontos além de B correspondem a t>1. Escolhendo t=n com n\in\mathbb{N}, n\ge 2, obtemos infinitos valores t distintos e, portanto, infinitos pontos distintos na semi-reta que estão fora do segmento AB.

Passo 6

Resumo da ideia central (motivação leve): é possível “marcar” o comprimento AB repetidas vezes ao longo da mesma semi-reta; cada marca leva a um novo ponto além de B. Como se pode marcar isso quantas vezes quiser (uma vez para cada número natural), obtemos uma sequência infinita de pontos fora do segmento AB. Isso é direto e intuitivo, e a coordenização mostra a mesma ideia com números reais.

Resposta

Existem infinitos pontos na semi-reta AB além daqueles contidos no segmento AB.

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