Mostre que:
Em uma semi-reta
existem infinitos pontos além daqueles contidos no scgmento
.
Em uma semi-reta
Passo 1
O enunciado dá uma semi-reta
(isto é, a reta que parte de
e passa por
, contendo todos os pontos no sentido de
a partir de
). O que se pede é mostrar que existem infinitos pontos na semi-reta
que não pertencem ao segmento
(ou seja, pontos da semi-reta além do extremo
).
Informações relevantes:
- Temos os pontos
e . - A semi-reta
contém todos os pontos situados em linha reta a partir de na direção de . - O segmento
é o conjunto de pontos entre e , inclusive os extremos. - É preciso provar que existem infinitos pontos na semi-reta
que ficam fora do segmento (isto é, “além” de ).
Passo 2
Vamos primeiro lembrar e explicar com cuidado o que significam os termos, porque eles serão usados na demonstração.
Definições e ideias básicas:
- Segmento
: conjunto de pontos entre e . Em particular, o comprimento do segmento é uma quantidade positiva que chamaremos de . - Semi-reta
: todos os pontos da reta que passam por e e que estão no mesmo lado de que . Em outras palavras, é o conjunto de pontos na reta tais que , e estão colineares e não está no lado oposto a em relação a . - Dois segmentos têm o mesmo comprimento se são congruentes; geometricamente, pode-se “transladar” um segmento ao longo da reta ou usar compasso para marcar comprimentos iguais sucessivamente sobre uma semi-reta.
Essas são noções elementares de geometria plana (segmento, semi-reta, congruência de segmentos). Agora vamos construir explicitamente uma sequência infinita de pontos na semi-reta além de
.
Passo 3
Construção geométrica concreta (método por marcações sucessivas):
- Tome o segmento
. Com um compasso ou por congruência, é possível marcar sobre a mesma semi-reta uma quantidade igual ao comprimento começando em e seguindo a direção de . - Defina
como o ponto da semi-reta tal que Esse ponto existe porque basta, a partir de , medir duas vezes o comprimento ao longo da mesma semi-reta; geometricamente é a composição de dois segmentos congruentes a . - De modo análogo, para cada inteiro
define-se como o ponto da semi-reta tal que Para obtemos . Para , está além de , porque .
Passo 4
Por que os pontos
são todos distintos e, portanto, infinitos?
- Suponha que
e sejam inteiros com . Se por absurdo então teríamos Mas pela definição e . Assim Como , podemos dividir por e obter , contradição. Logo sempre que . - Portanto a família
é infinita e constitui pontos todos sobre a semi-reta . Além disso, para todo temos segmento porque .
Passo 5
Uma explicação alternativa, mais algébrica (coordenização), para quem gosta de números:
- Coloque um sistema de coordenadas ao longo da reta
de modo que fique na posição e na posição . Então pontos da semi-reta correspondem a números reais com . O segmento corresponde ao intervalo . - Os pontos além de
correspondem a . Escolhendo com , , obtemos infinitos valores distintos e, portanto, infinitos pontos distintos na semi-reta que estão fora do segmento .
Passo 6
Resumo da ideia central (motivação leve): é possível “marcar” o comprimento
repetidas vezes ao longo da mesma semi-reta; cada marca leva a um novo ponto além de
. Como se pode marcar isso quantas vezes quiser (uma vez para cada número natural), obtemos uma sequência infinita de pontos fora do segmento
. Isso é direto e intuitivo, e a coordenização mostra a mesma ideia com números reais.
Resposta
Existem infinitos pontos na semi-reta
além daqueles contidos no segmento
.