Sobre uma reta marcam-se 3 pontos e sobre uma outra reta, paralela à primeira, marcam-se 5 pontos. Qual o número de triângulos que podem ser formados unindo 3 quaisquer desses 8 pontos?
Passo 1
Beleza, o problema diz que temos duas retas paralelas: uma com 3 pontos e outra com 5, totalizando 8 pontos. A ideia é escolher 3 desses 8 pra formar triângulos. Matematicamente, vamos usar combinatória (coeficientes binomiais) e a noção de colinearidade (3 pontos colineares não formam triângulo).
Passo 2
Primeiro, quantas formas de escolher qualquer 3 pontos dentre os 8? Usamos o coeficiente binomial:
Isso conta todas as escolhas de tripletas, incluindo as que dão colinearidade.
Passo 3
Agora, a gente precisa tirar do total aquelas escolhas que não formam triângulo porque ficam todas numa mesma reta. Primeiro, na reta com 3 pontos só existe uma forma de pegar os 3 de lá:
Passo 4
Na outra reta, com 5 pontos, quantas maneiras de escolher 3 desses?
Passo 5
Somando as escolhas “inválidas” (colineares) dá
. Então o número de triângulos é o total menos essas escolhas:
Resposta
45 triângulos.