Sobre uma reta marcam-se 3 pontos e sobre uma outra reta, paralela à primeira, marcam-se 5 pontos. Qual o número de triângulos que podem ser formados unindo 3 quaisquer desses 8 pontos?

Passo 1

Beleza, o problema diz que temos duas retas paralelas: uma com 3 pontos e outra com 5, totalizando 8 pontos. A ideia é escolher 3 desses 8 pra formar triângulos. Matematicamente, vamos usar combinatória (coeficientes binomiais) e a noção de colinearidade (3 pontos colineares não formam triângulo).

Passo 2

Primeiro, quantas formas de escolher qualquer 3 pontos dentre os 8? Usamos o coeficiente binomial:
binom83 = 8!3!,(8-3)! = 8cdot7cdot63cdot2cdot1 = 56
Isso conta todas as escolhas de tripletas, incluindo as que dão colinearidade.

Passo 3

Agora, a gente precisa tirar do total aquelas escolhas que não formam triângulo porque ficam todas numa mesma reta. Primeiro, na reta com 3 pontos só existe uma forma de pegar os 3 de lá:
binom33 = 1

Passo 4

Na outra reta, com 5 pontos, quantas maneiras de escolher 3 desses?
binom53 = 5!3!,2! = 5cdot42cdot1 = 10

Passo 5

Somando as escolhas “inválidas” (colineares) dá 56 - 11 = 45 . Então o número de triângulos é o total menos essas escolhas:

Resposta

45 triângulos.

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