Medidas de adsorção do gás acetileno em uma superfície de carvão foram realizadas e os resultados encontrados foram: \mathrm{p}(\mathrm{mmHg}) / \mathrm{q}\left(10^{-3} \mathrm{~mol} / \mathrm{g}\right) 100 / 6,7 ; 200 / 10,0 ; 300 / 12,0 ; 400 / 13,3 ; 500 / 14,3. (a) Determine quantidade máxima de acetileno suportada por grama de adsorvent (b) a constante de equilíbrio do processo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (pegos do enunciado):
  • Pressão p em \mathrm{mmHg} e quantidade adsorvida q em unidades de 10^{-3}\\ \mathrm{mol/g}:
    • p=100,\\ q=6{,}7
    • p=200,\\ q=10{,}0
    • p=300,\\ q=12{,}0
    • p=400,\\ q=13{,}3
    • p=500,\\ q=14{,}3
O enunciado pede:
(a) determinar a quantidade máxima de acetileno suportada por grama de adsorvente (ou seja, q_{\max});
(b) determinar a constante de equilíbrio do processo (chamarei de b).

Passo 2

Modelo que vamos usar (explicação didática do método): a isoterma de Langmuir é um modelo clássico para adsorção monomolecular em superfície com sítios iguais. A forma não linear é
q = \frac{q_{\max}\, b\, p}{1 + b\, p},
onde:
  • q é a quantidade adsorvida (aqui em 10^{-3}\\ \mathrm{mol/g}),
  • p é a pressão (aqui em \mathrm{mmHg}),
  • q_{\max} é a capacidade máxima de adsorção por grama (mesma unidade de q),
  • b é a constante de equilíbrio (unidade \mathrm{mmHg}^{-1}).
Para facilitar a determinação de q_{\max} e b fazemos a forma linearizada. Dividindo ambos os lados por q e reorganizando, obtemos a forma linear
\frac{p}{q} = \frac{1}{q_{\max} b} + \frac{1}{q_{\max}}\,p.
Se definirmos y=\dfrac{p}{q}, então a equação é uma reta
y = a + m p,
com
m=\frac{1}{q_{\max}},\qquad a=\frac{1}{q_{\max} b}.
Logo, ao ajustar uma reta y versus p (através de regressão linear), a inclinação dá 1/q_{\max} e o intercepto dá 1/(q_{\max}b). Depois isolamos q_{\max} e b.

Passo 3

Calcular os valores \dfrac{p}{q} para cada ponto (mostrando contas):
  • Para p=100,\\ q=6{,}7: \frac{p}{q}=\frac{100}{6{,}7}\approx 14{,}925373.
  • Para p=200,\\ q=10{,}0: \frac{p}{q}=\frac{200}{10{,}0}=20{,}0.
  • Para p=300,\\ q=12{,}0: \frac{p}{q}=\frac{300}{12{,}0}=25{,}0.
  • Para p=400,\\ q=13{,}3: \frac{p}{q}=\frac{400}{13{,}3}\approx 30{,}075188.
  • Para p=500,\\ q=14{,}3: \frac{p}{q}=\frac{500}{14{,}3}\approx 34{,}965035.
Vou chamar y_i=p_i/q_i. Para fazer o ajuste por mínimos quadrados preciso dos somatórios abaixo.

Passo 4

Calcular somatórios necessários para a regressão linear (com n=5):
Listando os valores:
\begin{array}{c|c|c} i & p_i\\ (\mathrm{mmHg}) & y_i=p_i/q_i \\\ \hline 1 & 100 & 14{,}925373 \\\\ 2 & 200 & 20{,}000000 \\\\ 3 & 300 & 25{,}000000 \\\\ 4 & 400 & 30{,}075188 \\\\ 5 & 500 & 34{,}965035 \end{array}
Agora os somatórios:
\begin{aligned} n &= 5,\\[4pt] \sum p_i &= 100+200+300+400+500 = 1500,\\[4pt] \sum y_i &\approx 14{,}925373+20{,}0+25{,}0+30{,}075188+34{,}965035 \\\ &\approx 124{,}965596,\\[4pt] \sum p_i^2 &=100^2+200^2+300^2+400^2+500^2 = 550000,\\[4pt] \sum p_i y_i &\approx 100\cdot14{,}925373 +200\cdot20 +300\cdot25 +400\cdot30{,}075188 +500\cdot34{,}965035\\\ &\approx 1492{,}5373 +4000 +7500 +12030{,}075188 +17482{,}517485 \\\ &\approx 42505{,}129973. \end{aligned}]

Passo 5

Fórmulas da regressão linear (reta y = a + m p):
m=\frac{n\sum p_i y_i - (\sum p_i)(\sum y_i)}{n\sum p_i^2 - (\sum p_i)^2}, \qquad a=\frac{\sum y_i - m\sum p_i}{n}.
Substituindo os números calculados:
\begin{aligned} \text{numerador\_m} &= 5\cdot 42505{,}129973 - 1500\cdot 124{,}965596 \\\ &\approx 212525{,}649865 - 187448{,}394000 = 25077{,}255865,\\[4pt] \text{denominador\_m} &= 5\cdot 550000 - 1500^2 = 2750000 - 2250000 = 500000. \end{aligned}
Logo
m \approx \frac{25077{,}255865}{500000} \approx 0{,}0501545117.
Agora o intercepto:
a \approx \frac{124{,}965596 - 0{,}0501545117\cdot 1500}{5} = \frac{124{,}965596 - 75{,}23176755}{5} \approx \frac{49{,}73382845}{5} \approx 9{,}94676569.
Lembrete do significado: m=\dfrac{1}{q_{\max}} e a=\dfrac{1}{q_{\max} b}.]

Passo 6

Determinar q_{\max} e b a partir de m e a.
Primeiro
q_{\max}=\frac{1}{m}\approx \frac{1}{0{,}0501545117}\approx 19{,}93771
a unidade aqui é a mesma dos q originais, ou seja 10^{-3}\\ \mathrm{mol/g}. Em unidades de \mathrm{mol/g}:
q_{\max} \approx 19{,}93771\times 10^{-3}\\ \mathrm{mol/g} \approx 0{,}01994\\ \mathrm{mol/g}.
Agora a constante b. Pode-se calcular por
b=\frac{m}{a} \quad\text{(pois \(a=m\cdot\frac{1}{b}\Rightarrow b=\frac{m}{a}\))}.
Substituindo:
b \approx \frac{0{,}0501545117}{9{,}94676569} \approx 0{,}0050415\\ \mathrm{mmHg}^{-1}.
Para clareza, em notação científica:
q_{\max}\approx 1{,}994\times 10^{-2}\\ \mathrm{mol/g},\qquad b\approx 5{,}04\times 10^{-3}\\ \mathrm{mmHg}^{-1}.

Resposta

(a) q_{\max}\approx 19{,}94\times 10^{-3}\\ \mathrm{mol/g}=0{,}01994\\ \mathrm{mol/g}
(b) b\approx 5{,}04\times 10^{-3}\\ \mathrm{mmHg}^{-1}

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