Qual o trabalho necessário para obter gotas esféricas com diâmetro de
a partir de
de água?
Dado: tensão superficial da água é
a
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
O que é pedido:
- Calcular o trabalho necessário para obter gotas esféricas de diâmetro
a partir de de água.
Dados fornecidos:
- Tensão superficial da água:
(a ). - Volume total de água:
. (peguei o volume do enunciado) - Diâmetro de cada gota:
(peguei do enunciado). - Raio de cada gota:
(vai ser calculado no próximo passo).
O objetivo prático será:
- determinar quantas gotas cabem em
; - calcular a área superficial total criada;
- usar a tensão superficial para obter o trabalho necessário.
Passo 2
Explicação didática da ideia física e da fórmula que vou usar.
A tensão superficial
tem unidades
e pode ser entendida como a energia por unidade de área associada à superfície do líquido (ou a força por comprimento que tende a minimizar a área). Ao criar novas superfícies, é preciso fornecer energia igual a
multiplicado pela área criada. Assim, o trabalho mínimo necessário para formar as gotas (assumindo que a água inicial tem área desprezível comparada à criada) é
onde
é o aumento de área superficial (a área total das gotas, se a área inicial for desprezível). Explico as variáveis:
-
é o trabalho (energia) em joules ( ). -
é a tensão superficial ( ). -
é a área total criada ( ).
Portanto, preciso calcular
, que será o número de gotas
vezes a área de uma gota (
):
Passo 3
Calcular o raio de cada gota a partir do diâmetro.
O enunciado deu
. Assim
Passo 4
Calcular o volume de uma gota esférica (fórmula e explicação).
O volume de uma esfera de raio
é
Aqui
é em
e
em
. Substituindo
:
Agora
Calcule o fator numérico:
Portanto
Passo 5
Calcular o número de gotas
obtidas a partir do volume total.
Usamos
Substituindo
e
,
Logo, o número de gotas é aproximadamente
.
Passo 6
Calcular a área superficial de uma gota e a área total
.
Área de uma esfera:
Com
,
Então
Calcule numericamente:
portanto
Agora a área total:
Multiplicando os fatores numéricos e as potências de 10:
e a potência de 10 é
. Assim
Ou seja,
(Interpretação: muitas gotinhas pequenas produzem uma área superficial muito grande.)
Passo 7
Calcular o trabalho
.
Substituindo
e
:
Calcule:
Passo 8
Comentários finais, suposições e arredondamento.
- Suposição usada: a área superficial inicial da água (antes de formar as gotas) foi considerada desprezível em comparação com a área total das gotinhas. Essa é uma hipótese comum nesse tipo de problema (se a água estava em um volume contínuo, sua superfície é pequena comparada à soma das superfícies das muitas gotinhas).
- Valores e algarismos significativos: o volume foi dado com dois algarismos significativos (
), então a resposta final deve ser reportada com aproximadamente dois algarismos significativos. Por isso arredondo para .