Qual o trabalho necessário para obter gotas esféricas com diâmetro de 10^{-7} \mathrm{~m} a partir de 5,0 \mathrm{~mL} de água?
Dado: tensão superficial da água é 72,8 \times 10^{-3} \mathrm{~N} / \mathrm{m} a 20^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
O que é pedido:
  • Calcular o trabalho necessário para obter gotas esféricas de diâmetro \,10^{-7}\\ \mathrm{m}\, a partir de 5{,}0\\ \mathrm{mL} de água.
Dados fornecidos:
  • Tensão superficial da água: \gamma = 72{,}8\times10^{-3}\\ \mathrm{N/m} (a 20^\circ\mathrm{C}).
  • Volume total de água: V_{\text{tot}} = 5{,}0\\ \mathrm{mL} = 5{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}}. (peguei o volume do enunciado)
  • Diâmetro de cada gota: d = 10^{-7}\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado).
  • Raio de cada gota: r = d/2 (vai ser calculado no próximo passo).
O objetivo prático será:
  1. determinar quantas gotas cabem em V_{\text{tot}};
  2. calcular a área superficial total criada;
  3. usar a tensão superficial para obter o trabalho necessário.

Passo 2

Explicação didática da ideia física e da fórmula que vou usar.
A tensão superficial \gamma tem unidades \mathrm{N/m} e pode ser entendida como a energia por unidade de área associada à superfície do líquido (ou a força por comprimento que tende a minimizar a área). Ao criar novas superfícies, é preciso fornecer energia igual a \gamma multiplicado pela área criada. Assim, o trabalho mínimo necessário para formar as gotas (assumindo que a água inicial tem área desprezível comparada à criada) é
W = \gamma\,\Delta A,
onde \Delta A é o aumento de área superficial (a área total das gotas, se a área inicial for desprezível). Explico as variáveis:
  • \,W é o trabalho (energia) em joules ( \mathrm{J}).
  • \gamma é a tensão superficial ( \mathrm{N/m}).
  • \Delta A é a área total criada ( \mathrm{m^2}).
Portanto, preciso calcular \Delta A, que será o número de gotas N vezes a área de uma gota ( 4\pi r^2):
\Delta A = N\cdot 4\pi r^2.

Passo 3

Calcular o raio de cada gota a partir do diâmetro.
O enunciado deu d=10^{-7}\\ \mathrm{m}. Assim
r=\frac{d}{2}=\frac{10^{-7}}{2}=5\times10^{-8}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular o volume de uma gota esférica (fórmula e explicação).
O volume de uma esfera de raio r é
V_{\text{gota}}=\frac{4}{3}\pi r^{3}.
Aqui V_{\text{gota}} é em \mathrm{m^{3}} e r em \mathrm{m}. Substituindo r=5\times10^{-8}\\ \mathrm{m}:
r^{3}=(5\times10^{-8})^{3}=5^{3}\times10^{-24}=125\times10^{-24}=1{,}25\times10^{-22}\\ \mathrm{m^{3}}.
Agora
V_{\text{gota}}=\frac{4}{3}\pi\,(1{,}25\times10^{-22}) = \left(\frac{4}{3}\pi\cdot1{,}25\right)\times10^{-22}.
Calcule o fator numérico:
\frac{4}{3}\pi\cdot1{,}25 = 4{,}18879\ldots\times1{,}25 \approx 5{,}23599.
Portanto
V_{\text{gota}}\approx 5{,}23599\times10^{-22}\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 5

Calcular o número de gotas N obtidas a partir do volume total.
Usamos
N=\frac{V_{\text{tot}}}{V_{\text{gota}}}.
Substituindo V_{\text{tot}}=5{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}} e V_{\text{gota}}\approx5{,}23599\times10^{-22}\\ \mathrm{m^{3}},
N\approx\frac{5{,}0\times10^{-6}}{5{,}23599\times10^{-22}} =\frac{5{,}0}{5{,}23599}\times10^{-6-(-22)} \approx0{,}95532\times10^{16} \approx9{,}5532\times10^{15}.
Logo, o número de gotas é aproximadamente N\approx9{,}55\times10^{15}.

Passo 6

Calcular a área superficial de uma gota e a área total \Delta A.
Área de uma esfera:
A_{\text{gota}}=4\pi r^{2}.
Com r=5\times10^{-8}\\ \mathrm{m},
r^{2}=(5\times10^{-8})^{2}=25\times10^{-16}=2{,}5\times10^{-15}\\ \mathrm{m^{2}}.
Então
A_{\text{gota}}=4\pi\cdot2{,}5\times10^{-15}=(10\pi)\times10^{-15}.
Calcule numericamente:
10\pi\approx31{,}4159265,
portanto
A_{\text{gota}}\approx3{,}14159\times10^{-14}\\ \mathrm{m^{2}}.
Agora a área total:
\Delta A = N\cdot A_{\text{gota}} \approx(9{,}5532\times10^{15})\times(3{,}14159\times10^{-14}).
Multiplicando os fatores numéricos e as potências de 10:
9{,}5532\times3{,}14159\approx30{,}000\\ (\text{aprox.}),
e a potência de 10 é 10^{15-14}=10^{1}. Assim
\Delta A\approx30{,}0\times10^{1}=3{,}00\times10^{2}\\ \mathrm{m^{2}}.
Ou seja,
\Delta A\approx300\\ \mathrm{m^{2}}.
(Interpretação: muitas gotinhas pequenas produzem uma área superficial muito grande.)

Passo 7

Calcular o trabalho W=\gamma\,\Delta A.
Substituindo \gamma=72{,}8\times10^{-3}\\ \mathrm{N/m}=0{,}0728\\ \mathrm{N/m} e \Delta A\approx300\\ \mathrm{m^{2}}:
W=\gamma\,\Delta A \approx 0{,}0728\times300.
Calcule:
0{,}0728\times300 = 21{,}84\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Comentários finais, suposições e arredondamento.
  • Suposição usada: a área superficial inicial da água (antes de formar as gotas) foi considerada desprezível em comparação com a área total das gotinhas. Essa é uma hipótese comum nesse tipo de problema (se a água estava em um volume contínuo, sua superfície é pequena comparada à soma das superfícies das muitas gotinhas).
  • Valores e algarismos significativos: o volume foi dado com dois algarismos significativos ( 5{,}0\\ \mathrm{mL}), então a resposta final deve ser reportada com aproximadamente dois algarismos significativos. Por isso arredondo 21{,}84\\ \mathrm{J} para 22\\ \mathrm{J}.

Resposta

22\\ \mathrm{J}

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