11.5 Quatro moles de nitrogênio, n mol de hidrogênio e (8-n) mol de oxigênio são misturados a T=300 \mathrm{K} e p=1 \mathrm{~atm}.
a) Escreva a expressão para \Delta G_{\text {mist. }} / \mathrm{mol} da mistura.
b) Calcule o valor de n para o qual \Delta G_{\text {mist }} / \mathrm{mol} possui um mínimo.
c) Calcule o valor mínimo de \Delta G_{\text {mist. }} / \mathrm{mol} da mistura.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede três coisas claras.
Informações fornecidas:
Há 4 mol de nitrogênio (\mathrm{N_2}), n mol de hidrogênio (\mathrm{H_2}) e (8-n) mol de oxigênio (\mathrm{O_2}).
Temperatura T = 300\\ \mathrm{K}.
Pressão total p = 1\\ \mathrm{atm}.
Os gases são misturados (supõe-se mistura ideal de gases).
Perguntas do enunciado:
a) Escrever a expressão para \Delta G_{\text{mist.}}/\text{mol} da mistura (isto é, variação de energia livre de Gibbs por mol de mistura).
b) Calcular o valor de n que minimiza \Delta G_{\text{mist.}}/\text{mol}.
c) Calcular o valor mínimo de \Delta G_{\text{mist.}}/\text{mol} (numérico, usando T=300\\ \mathrm{K}).
Dados extras que serão usados:
Número total de mols da mistura: n_{\text{tot}} = 4 + n + (8-n) = 12 mol (note que isto é independente de n).
Vamos trabalhar com R (constante dos gases) cujo valor numérico que usarei é R = 8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}.
Passo 2
Entendendo a fórmula de energia livre de mistura (aula rapidinha e necessária).
Para gases ideais, a energia livre de Gibbs de cada componente em uma mistura é dada pela sua energia química (potencial químico) \mu_i.
O potencial químico de um gás ideal (à pressão parcial p_i) tem a forma
onde \mu_i^\circ é uma referência (dependente de T), R é a constante dos gases, T a temperatura e p^\circ uma pressão de referência (mas não precisamos do valor numérico de \mu_i^\circ aqui).
Antes da mistura (cada gás em seu recipiente à mesma T e p), a pressão de cada gás puro era p. Assim, a energia livre inicial por mol de cada gás é \mu_i^\circ + RT\ln(p/p^\circ).
Depois da mistura, a pressão parcial do componente i é p_i = x_i p, onde x_i é a fração molar do componente i na mistura. Então, na mistura
Observação: esta expressão está bem definida só quando 0<n<8 (para manter frações molares positivas). Nos extremos n=0 ou n=8 um dos logaritmos diverge negativamente (comportamento esperado porque uma componente desaparece).
Passo 4
Procurando o valor de n que minimiza \Delta G_{\text{mist}}/\text{mol} (parte b) — cálculo detalhado.
Note que RT>0, então minimizar \dfrac{\Delta G_{\text{mist}}}{\text{mol}} é equivalente a minimizar a função
Só os dois últimos termos dependem de n. Vamos derivar f(n) e igualar a zero. Para derivar, use regras básicas: derivada de \dfrac{n}{12}\ln(n/12) em relação a n é
Assim, o valor mínimo de \dfrac{\Delta G_{\text{mist}}}{\text{mol}} é -RT\ln 3, que numericamente vale aproximadamente -2{,}74\times 10^{3}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Resposta
a) \displaystyle \frac{\Delta G_{\text{mist}}}{\text{mol}} = RT\!\left[\frac{1}{3}\ln\!\left(\frac{1}{3}\right)+\frac{n}{12}\ln\!\left(\frac{n}{12}\right)+\frac{8-n}{12}\ln\!\left(\frac{8-n}{12}\right)\right]