Calcular a derivada das funções:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a derivada da função
Informações relevantes dadas:
A pergunta é: encontrar
, a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Primeiro faço uma simplificação algébrica óbvia para deixar a expressão mais limpa:
Portanto posso trabalhar com
Passo 3
Vou escolher um método para derivar. Duas opções naturais são:
- usar a regra do quociente diretamente em
; - ou reescrever como produto
e usar regra do produto + regra da cadeia.
Eu escolho usar regra do produto + regra da cadeia porque ela deixa claro o uso da derivada de
e evita memorização de muitos termos — é método básico e direto para aplicar sem erro.
Passo 4
Apresento as fórmulas que vou usar (aula rápida):
- Regra do produto: se
e são funções, . Aqui e . - Regra da cadeia: se
, então . Vou usar para derivar . - Derivada do logaritmo natural:
. Em particular, para , .
Passo 5
Calculo as derivadas parciais necessárias:
- Derivada de
:
- Agora
. Vou aplicar a regra da cadeia: escrevo com e .
Derivada deé . Derivada de é (conforme expliquei no passo anterior). Assim
Passo 6
Agora aplico a regra do produto
. Substituindo
:
Passo 7
Simplifico os termos: no segundo termo o
do numerador cancela com o
do denominador:
Passo 8
Coloco em um único quociente para ficar mais elegante e facilitar comparação com respostas de prova. Uso fator comum
:
Passo 9
Pequeno comentário de verificação: se eu tivesse usado a regra do quociente diretamente em
, obteria no numerador
e no denominador
, que é exatamente o que tenho acima — portanto o resultado está consistente.