Calcular a derivada das funções:
4.10 y=\frac{6 x}{2 \ln (5 x)}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a derivada da função
y=\frac{6x}{2\ln(5x)}.
Informações relevantes dadas:
\text{função: }y=\frac{6x}{2\ln(5x)}çã
\text{o domínio implícito (pela presença de }\ln(5x)\text{) exige }5x>0\Rightarrow x>0.ííç
A pergunta é: encontrar y', a derivada de y em relação a x.

Passo 2

Primeiro faço uma simplificação algébrica óbvia para deixar a expressão mais limpa:
\frac{6x}{2\ln(5x)}=\frac{6}{2}\cdot\frac{x}{\ln(5x)}=3\cdot\frac{x}{\ln(5x)}.
Portanto posso trabalhar com
y=\frac{3x}{\ln(5x)}.

Passo 3

Vou escolher um método para derivar. Duas opções naturais são:
  • usar a regra do quociente diretamente em \displaystyle y=\frac{3x}{\ln(5x)};
  • ou reescrever como produto y=3x\cdot(\ln(5x))^{-1} e usar regra do produto + regra da cadeia.
Eu escolho usar regra do produto + regra da cadeia porque ela deixa claro o uso da derivada de \ln(5x) e evita memorização de muitos termos — é método básico e direto para aplicar sem erro.

Passo 4

Apresento as fórmulas que vou usar (aula rápida):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, (u\cdot v)'=u'\,v+u\,v'. Aqui u(x)=3x e v(x)=(\ln(5x))^{-1}.
  • Regra da cadeia: se w(x)=h(g(x)), então w'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x). Vou usar para derivar v(x)=(\ln(5x))^{-1}.
  • Derivada do logaritmo natural: \dfrac{d}{dx}\ln(t)=\dfrac{1}{t}\,t'. Em particular, para t=5x, \dfrac{d}{dx}\ln(5x)=\dfrac{1}{5x}\cdot 5=\dfrac{1}{x}.

Passo 5

Calculo as derivadas parciais necessárias:
  • Derivada de u(x)=3x:
u'(x)=3.
  • Agora v(x)=(\ln(5x))^{-1}. Vou aplicar a regra da cadeia: escrevo v(x)=h(\ell(x)) com h(z)=z^{-1} e \ell(x)=\ln(5x).
    Derivada de h(z)=z^{-1} é h'(z)=-z^{-2}. Derivada de \ell(x)=\ln(5x) é \ell'(x)=\dfrac{1}{x} (conforme expliquei no passo anterior). Assim
v'(x)=h'(\ell(x))\cdot\ell'(x) = -(\ln(5x))^{-2}\cdot\frac{1}{x} = -\frac{1}{x(\ln(5x))^{2}}.

Passo 6

Agora aplico a regra do produto (u\cdot v)'=u'v+uv'. Substituindo u,u',v,v':
y' = 3\cdot(\ln(5x))^{-1} + (3x)\cdot\left(-\frac{1}{x(\ln(5x))^{2}}\right).

Passo 7

Simplifico os termos: no segundo termo o x do numerador cancela com o x do denominador:
y' = \frac{3}{\ln(5x)} - \frac{3}{(\ln(5x))^{2}}.

Passo 8

Coloco em um único quociente para ficar mais elegante e facilitar comparação com respostas de prova. Uso fator comum 3/(\ln(5x))^{2}:
y'=\frac{3\ln(5x)}{(\ln(5x))^{2}}-\frac{3}{(\ln(5x))^{2}}=\frac{3\big(\ln(5x)-1\big)}{(\ln(5x))^{2}}.

Passo 9

Pequeno comentário de verificação: se eu tivesse usado a regra do quociente diretamente em \displaystyle y=\frac{3x}{\ln(5x)}, obteria no numerador 3\ln(5x)-3 e no denominador (\ln(5x))^{2}, que é exatamente o que tenho acima — portanto o resultado está consistente.

Resposta

y'=\frac{3\big(\ln(5x)-1\big)}{(\ln(5x))^{2}}

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