Medidas experimentais da capacidade térmica do alumínio a baixas temperaturas (abaixo de cerca de 50 K ) podem ser representadas pela fórmula
C_{V}(T)=a T+b T^{3}
onde C_{V} é a capacidade térmica de um mol de alumínio, e as constantes a e b valem aproximadamente a=0,00135 \mathrm{~J} / \mathrm{K}^{2} e b=2,48 \times 10^{-5} \mathrm{~J} / \mathrm{K}^{4}.
a) A partir destes dados, encontre uma fórmula para a entropia de um mol de alumínio como função da temperatura. Considere que S(T=0 \mathrm{~K})=0.
b) Calcule esta entropia com a ajuda da fórmula encontrada para T=1 \mathrm{~K} e T=10 K , exprimindo seus resultados em unidades convencionais ( \mathrm{J} / \mathrm{K} ).
[Comentário: Na forma acima para a capacidade térmica de metais a baixas temperaturas, o termo linear vem da energia associada aos elétrons de condução, enquanto a termo cúbico vem das vibrações da rede cristalina, ou fônons.]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e nos dá a informação abaixo:
  • Dados (pegos do enunciado): a capacidade térmica molar do alumínio, para baixas temperaturas, é
C_{V}(T)=a\,T+b\,T^{3},
com a=0,00135\\ \mathrm{J/K^{2}} e b=2{,}48\times10^{-5}\\ \mathrm{J/K^{4}}.
  • Condição: S(T=0\\ \mathrm{K})=0.
    As perguntas são:
    (a) Encontrar uma fórmula para a entropia de um mol de alumínio como função de T.
    (b) Calcular essa entropia para T=1\\ \mathrm{K} e para T=10\\ \mathrm{K}, em \mathrm{J/K}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicando o que cada símbolo significa):
  • Para um aquecimento reversível a volume constante, uma variação infinitesimal de entropia dS é dada por
dS=\frac{dQ_{\mathrm{rev}}}{T}.
  • A capacidade térmica a volume constante C_{V} é definida por
C_{V}=\left(\frac{\partial Q_{\mathrm{rev}}}{\partial T}\right)_{V}=\frac{dQ_{\mathrm{rev}}}{dT}.
Portanto, substituindo, obtemos a relação útil
dS=\frac{C_{V}(T)}{T}\,dT.
Aqui T é a temperatura (variável de integração), C_{V}(T) é a capacidade térmica dada no enunciado e S é a entropia.

Passo 3

Montar a integral para obter S(T) a partir de S(0)=0. Como S(0)=0,
S(T)=\int_{0}^{T}\frac{C_{V}(T')}{T'}\,dT'.
Substituindo C_{V}(T')=aT'+bT'^{3} obtemos o integrando
\frac{C_{V}(T')}{T'}=a+bT'^{2}.
Observação prática: não há singularidade no limite T'\to0 porque \dfrac{C_{V}}{T} tende para o valor finito a (já que C_{V}\sim aT para T\to0). Logo a integral é bem comportada.

Passo 4

Calcular explicitamente a integral:
S(T)=\int_{0}^{T}\bigl(a+bT'^{2}\bigr)\,dT' = \left[aT'+\frac{b}{3}T'^{3}\right]_{0}^{T}.
Portanto a expressão fechada para a entropia de um mol é
S(T)=a\,T+\frac{b}{3}\,T^{3},
que satisfaz S(0)=0. Aqui a e b são as constantes dadas e T é a temperatura.

Passo 5

Agora vamos calcular numericamente usando os valores fornecidos. Primeiro calculemos o fator \dfrac{b}{3}:
\frac{b}{3}=\frac{2{,}48\times10^{-5}}{3}=8{,}266\overline{6}\times10^{-6}\\ \mathrm{J/K^{4}}.

Passo 6

Cálculo para T=1\\ \mathrm{K}. Usando S(T)=aT+\dfrac{b}{3}T^{3}:
S(1)=a\cdot1+\frac{b}{3}\cdot1^{3}=a+\frac{b}{3}.
Substituindo:
S(1)=0{,}00135+8{,}266\overline{6}\times10^{-6}=0{,}001358266\overline{6}\\ \mathrm{J/K}.
Arredondando de forma razoável (4 algarismos significativos) obtemos
S(1)\approx0{,}001358\\ \mathrm{J/K}.

Passo 7

Cálculo para T=10\\ \mathrm{K}. Novamente
S(10)=a\cdot10+\frac{b}{3}\cdot10^{3}.
Calculemos as parcelas separadamente:
a\cdot10=0{,}00135\times10=0{,}0135\\ \mathrm{J/K},
\frac{b}{3}\cdot10^{3}=8{,}266\overline{6}\times10^{-6}\times10^{3}=0{,}008266\overline{6}\\ \mathrm{J/K}.
Somando,
S(10)=0{,}0135+0{,}008266\overline{6}=0{,}021766\overline{6}\\ \mathrm{J/K}.
Arredondando (4 algarismos significativos):
S(10)\approx0{,}02177\\ \mathrm{J/K}.

Passo 8

Pequena interpretação para dar confiança: em T=1\\ \mathrm{K} a contribuição eletrônica (termo linear aT) domina fortemente sobre o termo dos fônons (cúbico): aT\approx0{,}00135 e \dfrac{b}{3}T^{3}\approx8{,}27\times10^{-6}. Em T=10\\ \mathrm{K} os dois termos já são comparáveis; o termo cúbico aumenta rápido com T^{3} e passa a contribuir uma fração significativa da entropia total.

Resposta

S(1\\ \mathrm{K})\approx0{,}001358\\ \mathrm{J/K}
S(10\\ \mathrm{K})\approx0{,}02177\\ \mathrm{J/K}

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