Medidas experimentais da capacidade térmica do alumínio a baixas temperaturas (abaixo de cerca de 50 K ) podem ser representadas pela fórmula
onde
é a capacidade térmica de um mol de alumínio, e as constantes
e
valem aproximadamente
e
.
a) A partir destes dados, encontre uma fórmula para a entropia de um mol de alumínio como função da temperatura. Considere que
.
b) Calcule esta entropia com a ajuda da fórmula encontrada para
e
K , exprimindo seus resultados em unidades convencionais (
).
[Comentário: Na forma acima para a capacidade térmica de metais a baixas temperaturas, o termo linear vem da energia associada aos elétrons de condução, enquanto a termo cúbico vem das vibrações da rede cristalina, ou fônons.]
a) A partir destes dados, encontre uma fórmula para a entropia de um mol de alumínio como função da temperatura. Considere que
b) Calcule esta entropia com a ajuda da fórmula encontrada para
[Comentário: Na forma acima para a capacidade térmica de metais a baixas temperaturas, o termo linear vem da energia associada aos elétrons de condução, enquanto a termo cúbico vem das vibrações da rede cristalina, ou fônons.]
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e nos dá a informação abaixo:
- Dados (pegos do enunciado): a capacidade térmica molar do alumínio, para baixas temperaturas, é
com
e
.
- Condição:
.
As perguntas são:
(a) Encontrar uma fórmula para a entropia de um mol de alumínio como função de.
(b) Calcular essa entropia parae para , em .
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicando o que cada símbolo significa):
- Para um aquecimento reversível a volume constante, uma variação infinitesimal de entropia
é dada por
- A capacidade térmica a volume constante
é definida por
Portanto, substituindo, obtemos a relação útil
Aqui
é a temperatura (variável de integração),
é a capacidade térmica dada no enunciado e
é a entropia.
Passo 3
Montar a integral para obter
a partir de
. Como
,
Substituindo
obtemos o integrando
Observação prática: não há singularidade no limite
porque
tende para o valor finito
(já que
para
). Logo a integral é bem comportada.
Passo 4
Calcular explicitamente a integral:
Portanto a expressão fechada para a entropia de um mol é
que satisfaz
. Aqui
e
são as constantes dadas e
é a temperatura.
Passo 5
Agora vamos calcular numericamente usando os valores fornecidos. Primeiro calculemos o fator
:
Passo 6
Cálculo para
. Usando
:
Substituindo:
Arredondando de forma razoável (4 algarismos significativos) obtemos
Passo 7
Cálculo para
. Novamente
Calculemos as parcelas separadamente:
Somando,
Arredondando (4 algarismos significativos):
Passo 8
Pequena interpretação para dar confiança: em
a contribuição eletrônica (termo linear
) domina fortemente sobre o termo dos fônons (cúbico):
e
. Em
os dois termos já são comparáveis; o termo cúbico aumenta rápido com
e passa a contribuir uma fração significativa da entropia total.