Mostre que o torque que a força magnética exerce sobre um momento de dipolo magnético \vec{m} mergulhado em um campo magnético \vec{B} constante é dado por:
\vec{\tau}=\vec{m} \times \vec{B}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o torque (momento de forças) exercido pela força magnética sobre um dipolo magnético \vec{m} imerso em um campo magnético uniforme \vec{B} é
\vec{\tau}=\vec{m}\times\vec{B}.
Informações e quantidades relevantes que usaremos (fornecidas ou padrão neste contexto):
  • O campo magnético \vec{B} é constante no espaço (uniforme).
  • O dipolo magnético é produzido por uma corrente elétrica estacionária I circulando em um laço fechado (loop), com posição de cada elemento de corrente dada por \vec{r} e elemento de comprimento de fio \mathrm{d}\vec{\ell}.
  • A força magnética sobre um elemento de corrente é dada pela regra de Lorentz para elementos de corrente:
\mathrm{d}\vec{F}=I\,\mathrm{d}\vec{\ell}\times\vec{B}.
  • O torque (momento) produzido por uma força \mathrm{d}\vec{F} com braço de alavanca \vec{r} é
\mathrm{d}\vec{\tau}=\vec{r}\times\mathrm{d}\vec{F}.
  • A definição geral do momento de dipolo magnético de um laço de corrente é
\vec{m}=\frac{I}{2}\oint \vec{r}\times\mathrm{d}\vec{\ell},
que, para um laço plano, reduz-se à forma familiar \vec{m}=I\vec{A} (com \vec{A} vetor área orientado pela regra da mão direita).

Passo 2

Escrever o torque total como integral ao longo do laço usando as expressões acima.
Cada elemento de corrente \mathrm{d}\vec{\ell} sofre força \mathrm{d}\vec{F}=I\,\mathrm{d}\vec{\ell}\times\vec{B}. O torque diferencial é
\mathrm{d}\vec{\tau}=\vec{r}\times\mathrm{d}\vec{F}=\vec{r}\times\bigl(I\,\mathrm{d}\vec{\ell}\times\vec{B}\bigr).
Portanto o torque total sobre o laço é a integral ao longo do contorno fechado:
\vec{\tau}=I\oint \vec{r}\times\bigl(\mathrm{d}\vec{\ell}\times\vec{B}\bigr).

Passo 3

Aplicar a identidade do produto vetorial triplo para expandir \vec{r}\times(\mathrm{d}\vec{\ell}\times\vec{B}).
A identidade vetorial útil é, para quaisquer vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c},
\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{b}(\vec{a}\cdot\vec{c})-\vec{c}(\vec{a}\cdot\vec{b}).
Tomando \vec{a}=\vec{r}, \vec{b}=\mathrm{d}\vec{\ell}, \vec{c}=\vec{B}, obtemos
\vec{r}\times\bigl(\mathrm{d}\vec{\ell}\times\vec{B}\bigr)=\mathrm{d}\vec{\ell}\,(\vec{r}\cdot\vec{B})-\vec{B}\,(\vec{r}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell}).
Substituindo na expressão do torque:
\vec{\tau}=I\oint\Bigl[\mathrm{d}\vec{\ell}\,(\vec{r}\cdot\vec{B})-\vec{B}\,(\vec{r}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell})\Bigr].

Passo 4

Mostrar que o segundo termo da integral se anula: \displaystyle \oint \vec{r}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell}=0.
Observação: \vec{B} é constante, então pode ser retirada da integral no segundo termo. Note que
\mathrm{d}(\vec{r}\cdot\vec{r})=2\,\vec{r}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=2\,\vec{r}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell},
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\oint \vec{r}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell}=\frac{1}{2}\oint \mathrm{d}(\vec{r}\cdot\vec{r})=\frac{1}{2}\bigl[\vec{r}\cdot\vec{r}\bigr]_{\text{início}}^{\text{fim}}=0,í
pois o contorno é fechado ( \vec{r} volta ao ponto inicial). Portanto
\oint \vec{B}\,(\vec{r}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell})=\vec{B}\,\oint (\vec{r}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell})=\vec{0}.
Com isso o torque reduz-se a
\vec{\tau}=I\oint \mathrm{d}\vec{\ell}\,(\vec{r}\cdot\vec{B}).

Passo 5

Manipular a integral \displaystyle \oint \mathrm{d}\vec{\ell}\,(\vec{r}\cdot\vec{B}) para relacioná-la com \displaystyle \oint \vec{r}\times\mathrm{d}\vec{\ell}.
Vamos definir
\vec{S}\equiv\oint \mathrm{d}\vec{\ell}\,(\vec{r}\cdot\vec{B}).
Queremos expressar \vec{S} em termos de \displaystyle \oint \vec{r}\times\mathrm{d}\vec{\ell}. Use a identidade vetorial
\vec{B}\times(\vec{r}\times\mathrm{d}\vec{\ell})=\vec{r}(\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell})-\mathrm{d}\vec{\ell}(\vec{B}\cdot\vec{r}).
Reescrevendo e isolando \mathrm{d}\vec{\ell}(\vec{r}\cdot\vec{B}) (lembrando que \vec{B}\cdot\vec{r}=\vec{r}\cdot\vec{B}):
\mathrm{d}\vec{\ell}\,(\vec{r}\cdot\vec{B})=\vec{r}(\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell})-\vec{B}\times(\vec{r}\times\mathrm{d}\vec{\ell}).
Integramos ao longo do laço:
\vec{S}=\oint \vec{r}(\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell})-\vec{B}\times\oint (\vec{r}\times\mathrm{d}\vec{\ell}).
Agora \vec{B} é constante, e \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell}=\mathrm{d}(\vec{B}\cdot\vec{r}) (pois \mathrm{d}\vec{\ell}=\mathrm{d}\vec{r}). Assim
\oint \vec{r}(\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell})=\oint \vec{r}\,\mathrm{d}(\vec{B}\cdot\vec{r}).
Essa integral por partes sobre um contorno fechado dá zero no termo de fronteira (pois é fechado) e deixa
\oint \vec{r}\,\mathrm{d}(\vec{B}\cdot\vec{r})=-\oint (\vec{B}\cdot\vec{r})\,\mathrm{d}\vec{r}=-\oint \mathrm{d}\vec{\ell}\,(\vec{r}\cdot\vec{B})=-\vec{S}.
Substituindo de volta em \vec{S}:
\vec{S}=-\vec{S}-\vec{B}\times\oint (\vec{r}\times\mathrm{d}\vec{\ell}).
Passando -\vec{S} para o lado esquerdo resulta
2\vec{S}=-\vec{B}\times\oint (\vec{r}\times\mathrm{d}\vec{\ell}).
Portanto
\vec{S}=-\frac{1}{2}\,\vec{B}\times\oint (\vec{r}\times\mathrm{d}\vec{\ell}).

Passo 6

Substituir \vec{S} no torque e identificar \vec{m}.
Lembrando que \vec{\tau}=I\vec{S}, obtemos
\vec{\tau}=I\left(-\frac{1}{2}\,\vec{B}\times\oint (\vec{r}\times\mathrm{d}\vec{\ell})\right)=-\frac{I}{2}\,\vec{B}\times\oint (\vec{r}\times\mathrm{d}\vec{\ell}).
Usando a propriedade cruzada antissimétrica \vec{a}\times\vec{b}= -\,\vec{b}\times\vec{a}, reescrevemos
\vec{\tau}=\frac{I}{2}\left(\oint \vec{r}\times\mathrm{d}\vec{\ell}\right)\times\vec{B}.
Agora reconhecemos a definição do momento de dipolo magnético do laço:
\vec{m}=\frac{I}{2}\oint \vec{r}\times\mathrm{d}\vec{\ell}.
Portanto finalmente
\vec{\tau}=\vec{m}\times\vec{B}.

Passo 7

Comentário físico e formas alternativas (breve e motivador).
  • Para um laço plano a definição acima dá \vec{m}=I\vec{A}, com \vec{A} o vetor área (magnitude igual à área do laço e direção normal ao plano, determinada pela regra da mão direita). Assim a fórmula \vec{\tau}=\vec{m}\times\vec{B} diz que o torque tende a girar o dipolo para alinhar \vec{m} com \vec{B}, exatamente como um pequeno ímã em um campo uniforme.
  • A derivação usada foi bem geral (válida para qualquer laço de corrente) e fez uso apenas da força sobre elemento de corrente, da definição de torque e de identidades vetoriais. Em provas, vale lembrar dos passos-chave: escrever \mathrm{d}\vec{F}=I\,\mathrm{d}\vec{\ell}\times\vec{B}, formar \vec{r}\times\mathrm{d}\vec{F}, usar a identidade tripla, eliminar termos que integram a zero sobre um contorno fechado e reconhecer a definição de \vec{m}.

Resposta

\vec{\tau}=\vec{m}\times\vec{B}

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