Mostre que o torque que a força magnética exerce sobre um momento de dipolo magnético
mergulhado em um campo magnético
constante é dado por:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o torque (momento de forças) exercido pela força magnética sobre um dipolo magnético
imerso em um campo magnético uniforme
é
Informações e quantidades relevantes que usaremos (fornecidas ou padrão neste contexto):
- O campo magnético
é constante no espaço (uniforme). - O dipolo magnético é produzido por uma corrente elétrica estacionária
circulando em um laço fechado (loop), com posição de cada elemento de corrente dada por e elemento de comprimento de fio . - A força magnética sobre um elemento de corrente é dada pela regra de Lorentz para elementos de corrente:
- O torque (momento) produzido por uma força
com braço de alavanca é
- A definição geral do momento de dipolo magnético de um laço de corrente é
que, para um laço plano, reduz-se à forma familiar
(com
vetor área orientado pela regra da mão direita).
Passo 2
Escrever o torque total como integral ao longo do laço usando as expressões acima.
Cada elemento de corrente
sofre força
. O torque diferencial é
Portanto o torque total sobre o laço é a integral ao longo do contorno fechado:
Passo 3
Aplicar a identidade do produto vetorial triplo para expandir
.
A identidade vetorial útil é, para quaisquer vetores
,
Tomando
,
,
, obtemos
Substituindo na expressão do torque:
Passo 4
Mostrar que o segundo termo da integral se anula:
.
Observação:
é constante, então pode ser retirada da integral no segundo termo. Note que
logo
pois o contorno é fechado (
volta ao ponto inicial). Portanto
Com isso o torque reduz-se a
Passo 5
Manipular a integral
para relacioná-la com
.
Vamos definir
Queremos expressar
em termos de
. Use a identidade vetorial
Reescrevendo e isolando
(lembrando que
):
Integramos ao longo do laço:
Agora
é constante, e
(pois
). Assim
Essa integral por partes sobre um contorno fechado dá zero no termo de fronteira (pois é fechado) e deixa
Substituindo de volta em
:
Passando
para o lado esquerdo resulta
Portanto
Passo 6
Substituir
no torque e identificar
.
Lembrando que
, obtemos
Usando a propriedade cruzada antissimétrica
, reescrevemos
Agora reconhecemos a definição do momento de dipolo magnético do laço:
Portanto finalmente
Passo 7
Comentário físico e formas alternativas (breve e motivador).
- Para um laço plano a definição acima dá
, com o vetor área (magnitude igual à área do laço e direção normal ao plano, determinada pela regra da mão direita). Assim a fórmula diz que o torque tende a girar o dipolo para alinhar com , exatamente como um pequeno ímã em um campo uniforme. - A derivação usada foi bem geral (válida para qualquer laço de corrente) e fez uso apenas da força sobre elemento de corrente, da definição de torque e de identidades vetoriais. Em provas, vale lembrar dos passos-chave: escrever
, formar , usar a identidade tripla, eliminar termos que integram a zero sobre um contorno fechado e reconhecer a definição de .