Suponha que a probabilidade de que um bit transmitido através de um canal digital de comunicação seja recebido com erro é de 0.1 . Calcule a probabilidade de que exatamente o quarto erro ocorra na
transmissão.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Probabilidade de erro num bit transmitido:
. - Transmissões são independentes (cada bit tem probabilidade
de erro, independente das outras). - Pergunta: qual é a probabilidade de que exatamente o quarto erro ocorra na
transmissão?
Passo 2
Entendendo o que o evento “o quarto erro ocorre na
transmissão” significa em termos práticos.
- Para o quarto erro acontecer exatamente na transmissão
, é necessário que nas primeiras 9 transmissões ocorram exatamente 3 erros e que a 10ª transmissão seja um erro. - Logo o evento se divide em duas partes que ocorrem juntas:
- “Nas primeiras 9 transmissões há exatamente 3 erros”.
- “A 10ª transmissão é um erro”.
Passo 3
Explicando por que contamos as formas possíveis das 3 ocorrências de erro nas primeiras 9 transmissões.
- As primeiras 9 posições podem conter os 3 erros em qualquer combinação de lugares; cada escolha de posições é um caso distinto (por exemplo erros nas posições 1,2,3 é diferente de 1,2,4).
- O número de maneiras de escolher 3 posições entre 9 é o coeficiente binomial
. - Lembrando como calcular
:
Passo 4
Probabilidade associada a uma configuração específica (uma sequência particular de erros e acertos).
- Se fixarmos uma configuração nas primeiras 9 transmissões com exatamente 3 erros e 6 acertos, a probabilidade dessa configuração ocorrer é
porque cada erro tem probabilidade e cada acerto probabilidade , e as transmissões são independentes (multiplica-se). - Além disso, a 10ª transmissão deve ser um erro, com probabilidade
. - Portanto, para UMA configuração particular com 3 erros nas primeiras 9 e erro na 10ª, a probabilidade é
Passo 5
Juntando contagem de configurações com a probabilidade de cada configuração.
- Como existem
configurações diferentes das primeiras 9 com exatamente 3 erros, a probabilidade total do evento é - Esta é a forma padrão da distribuição que dá a probabilidade de o
-ésimo sucesso ocorrer no -ésimo ensaio (aqui sucesso = “erro”), aplicada com e .
Passo 6
Substituindo
e calculando numericamente passo a passo.
- Primeiro a expressão exata:
- Já sabemos
. - Calcule
- Calcule
. Podemos fazer devagar:
Passo 7
Multiplicando os fatores finais.
- Multiplicando:
- Uma maneira de fazer a conta:
- Em porcentagem isso é aproximadamente
.
Passo 8
Interpretação curta e incentivo.
- Resultado razoável: não é muito provável que o quarto erro apareça exatamente na 10ª transmissão quando
, a probabilidade fica em torno de . - Tá indo bem — entender a divisão em “primeiros 9 com 3 erros” e “10ª é erro” é a chave para resolver esse tipo de problema rápido na prova.