Suponha que a probabilidade de que um bit transmitido através de um canal digital de comunicação seja recebido com erro é de 0.1 . Calcule a probabilidade de que exatamente o quarto erro ocorra na 10^{a} transmissão.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Probabilidade de erro num bit transmitido: p=0,1.
  • Transmissões são independentes (cada bit tem probabilidade p de erro, independente das outras).
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que exatamente o quarto erro ocorra na 10^{\text{a}} transmissão?

Passo 2

Entendendo o que o evento “o quarto erro ocorre na 10^{\text{a}} transmissão” significa em termos práticos.
  • Para o quarto erro acontecer exatamente na transmissão 10, é necessário que nas primeiras 9 transmissões ocorram exatamente 3 erros e que a 10ª transmissão seja um erro.
  • Logo o evento se divide em duas partes que ocorrem juntas:
    1. “Nas primeiras 9 transmissões há exatamente 3 erros”.
    2. “A 10ª transmissão é um erro”.

Passo 3

Explicando por que contamos as formas possíveis das 3 ocorrências de erro nas primeiras 9 transmissões.
  • As primeiras 9 posições podem conter os 3 erros em qualquer combinação de lugares; cada escolha de posições é um caso distinto (por exemplo erros nas posições 1,2,3 é diferente de 1,2,4).
  • O número de maneiras de escolher 3 posições entre 9 é o coeficiente binomial \binom{9}{3}.
  • Lembrando como calcular \binom{9}{3}: \binom{9}{3}=\frac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot2\cdot1}=84.

Passo 4

Probabilidade associada a uma configuração específica (uma sequência particular de erros e acertos).
  • Se fixarmos uma configuração nas primeiras 9 transmissões com exatamente 3 erros e 6 acertos, a probabilidade dessa configuração ocorrer é p^{3}(1-p)^{6},porque cada erro tem probabilidade p e cada acerto probabilidade 1-p, e as transmissões são independentes (multiplica-se).
  • Além disso, a 10ª transmissão deve ser um erro, com probabilidade p.
  • Portanto, para UMA configuração particular com 3 erros nas primeiras 9 e erro na 10ª, a probabilidade é p^{3}(1-p)^{6}\cdot p = p^{4}(1-p)^{6}.

Passo 5

Juntando contagem de configurações com a probabilidade de cada configuração.
  • Como existem \binom{9}{3} configurações diferentes das primeiras 9 com exatamente 3 erros, a probabilidade total do evento é \binom{9}{3}\,p^{4}(1-p)^{6}.
  • Esta é a forma padrão da distribuição que dá a probabilidade de o k-ésimo sucesso ocorrer no n-ésimo ensaio (aqui sucesso = “erro”), aplicada com k=4 e n=10.

Passo 6

Substituindo p=0,1 e calculando numericamente passo a passo.
  • Primeiro a expressão exata: \binom{9}{3}(0,1)^{4}(0,9)^{6}.
  • Já sabemos \binom{9}{3}=84.
  • Calcule (0,1)^{4} = 0,1^{4} = 0,0001.
  • Calcule (0,9)^{6}. Podemos fazer devagar: 0,9^2 = 0,81,\qquad 0,9^3 = 0,729,\qquad 0,9^6 = (0,9^3)^2 = 0,729^2 = 0,531441.

Passo 7

Multiplicando os fatores finais.
  • Multiplicando: 84 \times 0,0001 \times 0,531441.
  • Uma maneira de fazer a conta: 0,0001\times 0,531441 = 0,0000531441,
84\times 0,0000531441 = 0,0044641044.
  • Em porcentagem isso é aproximadamente 0,4464\%.

Passo 8

Interpretação curta e incentivo.
  • Resultado razoável: não é muito provável que o quarto erro apareça exatamente na 10ª transmissão quando p=0,1, a probabilidade fica em torno de 0,00446.
  • Tá indo bem — entender a divisão em “primeiros 9 com 3 erros” e “10ª é erro” é a chave para resolver esse tipo de problema rápido na prova.

Resposta

\displaystyle \binom{9}{3}(0,1)^{4}(0,9)^{6}
\displaystyle \approx 0,0044641044

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