Um medidor de Pitot é empregado para medir vazão em um tubo de diâmetro nominal
, Sch. 40 (diâmetro interno igual a
) que transporta ar aquecido para secagem de bagaço de laranja em um secador rotatório. O ar se encontra praticamente isento de umidade e a uma temperatura de
, enquanto a pressão absoluta medida nas proximidades do Pitot é de
. Nessas condições de temperatura e pressão, a viscosidade do ar pode ser considerada igual a
. O medidor de Pitot é inicialmente posicionado no centro do tubo e a leitura do manômetro, que usa água como fluido manométrico, é de
. Em seguida, mantendo-se constantes as condições do escoamento, obtêm-se medidas adicionais de velocidade variando a posição do medidor de Pitot ao longo da seção transversal do tubo, isto é, em diferentes valores da coordenada radial r . As leituras realizadas no manômetro em função da posição r do medidor de Pitot são apresentadas a seguir. Considerando que o perfil de velocidades seja simétrico, calcule a vazão mássica do ar no tubo, assumindo
.
0
16,3
0,0303
12,9
0,0606
11,4
0,0910
8,7
0,1213
7,1
0,1516
0
|
|
|
| 0 | 16,3 |
| 0,0303 | 12,9 |
| 0,0606 | 11,4 |
| 0,0910 | 8,7 |
| 0,1213 | 7,1 |
| 0,1516 | 0 |
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Calcular a vazão mássica do ar no tubo, isto é
.
Informações fornecidas (peguei todos os números do enunciado):
- Diâmetro interno do tubo:
. - Raio do tubo:
. - Temperatura do ar:
. - Pressão absoluta próxima ao Pitot:
. - Viscosidade dinâmica do ar:
. - Coeficiente do Pitot:
. - Manômetro usa água (densidade tomada como
, salvo indicação em contrário). - Aceleração da gravidade:
. - Leituras do manômetro (altura
em mm) em função da posição radial (em m): -
Pressupostos que usarei (foram dados ou razoáveis para o problema):
- Perfil de velocidades é simétrico (dado).
- As variações de densidade do ar ao longo da seção são desprezíveis (usar densidade uniforme obtida pela equação dos gases ideais).
- A leitura do manômetro fornece a diferença de pressão entre pontos de estagnação (Pitot) e pressão estática:
(correção por densidade do gás é pequena e será desprezada).
Passo 2
Calcular a densidade do ar
nas condições dadas usando a equação dos gases ideais:
onde
é a constante específica do ar,
e
.
Cálculo:
Breve explicação (aula rápida):
- A equação dos gases ideais em forma de densidade é
. Aqui é a pressão absoluta, é a temperatura absoluta em K e é a constante do gás por unidade de massa. É a forma direta para obter densidade do ar quando pressão e temperatura são conhecidas.
Passo 3
Converter as leituras do manômetro
em diferença de pressão
. Para um manômetro com líquido de densidade
valem, aproximando que o gás tem densidade muito menor:
com
em metros.
Vou primeiro converter as alturas
para metros:
Explicação rápida:
- A pressão diferencial medida por um manômetro com líquido é o peso da coluna de líquido entre as duas superfícies:
. Aqui a densidade do líquido é muito maior que a do gás, então a correção por densidade do gás é desprezível.
Passo 4
Relacionar
com a velocidade local
medida pelo Pitot. Para um tubo com escoamento subcompressível, a equação prática é:
onde
é o coeficiente do Pitot (a correção experimental do tubo).
Substituindo
obtemos
Explicação didática:
- A equação vem da conservação de energia (Bernoulli) entre um ponto de escoamento e um ponto de estagnação:
. O Pitot mede . O coeficiente corrige perdas e características do tubo de Pitot.
Passo 5
Calcular um fator constante para facilitar os cálculos:
Substituindo números (
,
,
,
):
Portanto
Passo 6
Calcular as velocidades em cada posição radial usando
(com
em metros).
Cálculos (apresento valores com 3 dígitos significativos):
- Para
, : - Para
, : - Para
, : - Para
, : - Para
, : - Para
, :
Breve observação:
- Os números acima foram obtidos aplicando diretamente a fórmula ponto a ponto. Faz sentido físico: máxima velocidade no centro e zero na parede.
Passo 7
Expressar a vazão mássica
para escoamento axisimétrico:
Explicação:
- A massa que atravessa uma coroa elementar de raio
e espessura é . Integrando de a obtém-se a vazão mássica total.
Passo 8
Avaliar numericamente a integral usando a regra do trapézio nos valores medidos. Primeiro calculo
em cada ponto:
Lista de
,
e
:
-
, , . -
, , . -
, , . -
, , . -
, , . -
, , .
Agora aplico a aproximação trapezoidal para
:
onde
. Os
são aproximadamente
.
Realizando os produtos e somas:
- contribuição 0–1:
- contribuição 1–2:
- contribuição 2–3:
- contribuição 3–4:
- contribuição 4–5:
Somando:
Passo 9
Calcular a vazão mássica usando o resultado da integral:
Substituindo
:
Arredondando razoavelmente para três dígitos significativos:
Passo 10
Resultados auxiliares e verificação rápida (para informação e confiança):
- Vazão volumétrica:
- Velocidade média:
logo
- Número de Reynolds médio (verificar regime de escoamento):
ou seja, escoamento turbulento — portanto faz sentido ter um perfil mais “achatado” que um parabólico laminar.
Comentário motivador: você fez direito — os números mostram fluxo turbulento, o que casa com o perfil medido (não parabólico perfeito).