Um medidor de Pitot é empregado para medir vazão em um tubo de diâmetro nominal 12^{\prime \prime}, Sch. 40 (diâmetro interno igual a 303,2 \mathrm{~mm} ) que transporta ar aquecido para secagem de bagaço de laranja em um secador rotatório. O ar se encontra praticamente isento de umidade e a uma temperatura de 100^{\circ} \mathrm{C}, enquanto a pressão absoluta medida nas proximidades do Pitot é de 98,6 \mathrm{kPa}. Nessas condições de temperatura e pressão, a viscosidade do ar pode ser considerada igual a 2,19 \times 10^{-5} \mathrm{~Pa} \cdot \mathrm{~s}. O medidor de Pitot é inicialmente posicionado no centro do tubo e a leitura do manômetro, que usa água como fluido manométrico, é de 16,3 \mathrm{~mm}. Em seguida, mantendo-se constantes as condições do escoamento, obtêm-se medidas adicionais de velocidade variando a posição do medidor de Pitot ao longo da seção transversal do tubo, isto é, em diferentes valores da coordenada radial r . As leituras realizadas no manômetro em função da posição r do medidor de Pitot são apresentadas a seguir. Considerando que o perfil de velocidades seja simétrico, calcule a vazão mássica do ar no tubo, assumindo \mathrm{c}_{\mathrm{p}}=0,966.
\mathbf{r}[\mathbf{m}] \mathbf{h}[\mathbf{m m}]
0 16,3
0,0303 12,9
0,0606 11,4
0,0910 8,7
0,1213 7,1
0,1516 0

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a vazão mássica do ar no tubo, isto é \dot{m}.
Informações fornecidas (peguei todos os números do enunciado):
  • Diâmetro interno do tubo: D=303{,}2\\ \mathrm{mm}=0{,}3032\\ \mathrm{m}.
  • Raio do tubo: R=0{,}1516\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura do ar: T=100^\circ\mathrm{C}=373{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão absoluta próxima ao Pitot: p=98{,}6\\ \mathrm{kPa}=98{,}600\\ \mathrm{Pa}.
  • Viscosidade dinâmica do ar: \mu=2{,}19\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Coeficiente do Pitot: c_{p}=0{,}966.
  • Manômetro usa água (densidade tomada como \rho_{w}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}, salvo indicação em contrário).
  • Aceleração da gravidade: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Leituras do manômetro (altura h em mm) em função da posição radial r (em m):
    • r=0,\\ h=16{,}3\\ \mathrm{mm}
    • r=0{,}0303,\\ h=12{,}9\\ \mathrm{mm}
    • r=0{,}0606,\\ h=11{,}4\\ \mathrm{mm}
    • r=0{,}0910,\\ h=8{,}7\\ \mathrm{mm}
    • r=0{,}1213,\\ h=7{,}1\\ \mathrm{mm}
    • r=0{,}1516,\\ h=0\\ \mathrm{mm}
Pressupostos que usarei (foram dados ou razoáveis para o problema):
  • Perfil de velocidades é simétrico (dado).
  • As variações de densidade do ar ao longo da seção são desprezíveis (usar densidade uniforme obtida pela equação dos gases ideais).
  • A leitura do manômetro fornece a diferença de pressão entre pontos de estagnação (Pitot) e pressão estática: \Delta p = \rho_{w} g h (correção por densidade do gás é pequena e será desprezada).

Passo 2

Calcular a densidade do ar \rho_{\text{ar}} nas condições dadas usando a equação dos gases ideais:
\rho_{\text{ar}}=\frac{p}{R_{\text{ar}}T},
onde R_{\text{ar}}=287\\ \mathrm{J/(kg\;K)} é a constante específica do ar, p=98{,}600\\ \mathrm{Pa} e T=373{,}15\\ \mathrm{K}.
Cálculo:
\rho_{\text{ar}}=\frac{98{,}600}{287\cdot 373{,}15}\approx 0{,}9208\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Breve explicação (aula rápida):
  • A equação dos gases ideais em forma de densidade é \rho = p/(R T). Aqui p é a pressão absoluta, T é a temperatura absoluta em K e R é a constante do gás por unidade de massa. É a forma direta para obter densidade do ar quando pressão e temperatura são conhecidas.

Passo 3

Converter as leituras do manômetro h em diferença de pressão \Delta p. Para um manômetro com líquido de densidade \rho_{w} valem, aproximando que o gás tem densidade muito menor:
\Delta p = \rho_{w}\, g\, h,
com h em metros.
Vou primeiro converter as alturas h para metros:
  • h_0=16{,}3\\ \mathrm{mm}=0{,}0163\\ \mathrm{m}
  • h_1=12{,}9\\ \mathrm{mm}=0{,}0129\\ \mathrm{m}
  • h_2=11{,}4\\ \mathrm{mm}=0{,}0114\\ \mathrm{m}
  • h_3=8{,}7\\ \mathrm{mm}=0{,}0087\\ \mathrm{m}
  • h_4=7{,}1\\ \mathrm{mm}=0{,}0071\\ \mathrm{m}
  • h_5=0\\ \mathrm{mm}=0\\ \mathrm{m}
Explicação rápida:
  • A pressão diferencial medida por um manômetro com líquido é o peso da coluna de líquido entre as duas superfícies: \Delta p = \rho_{líq} g hí. Aqui a densidade do líquido é muito maior que a do gás, então a correção por densidade do gás é desprezível.

Passo 4

Relacionar \Delta p com a velocidade local v(r) medida pelo Pitot. Para um tubo com escoamento subcompressível, a equação prática é:
v(r)=c_{p}\sqrt{\frac{2\,\Delta p}{\rho_{\text{ar}}}},
onde c_{p} é o coeficiente do Pitot (a correção experimental do tubo).
Substituindo \Delta p=\rho_{w} g h obtemos
v(r)=c_{p}\sqrt{\frac{2\,\rho_{w}\,g\,h}{\rho_{\text{ar}}}}.
Explicação didática:
  • A equação vem da conservação de energia (Bernoulli) entre um ponto de escoamento e um ponto de estagnação: p_{0}-p = \tfrac12 \rho v^2. O Pitot mede p_0-p = \Delta p. O coeficiente c_{p} corrige perdas e características do tubo de Pitot.

Passo 5

Calcular um fator constante para facilitar os cálculos:
A=c_{p}\sqrt{\frac{2\rho_{w} g}{\rho_{\text{ar}}}}.
Substituindo números ( c_{p}=0{,}966, \rho_{w}=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, \rho_{\text{ar}}=0{,}9208\\ \mathrm{kg/m^3}):
A=0{,}966\sqrt{\frac{2\cdot 1000\cdot 9{,}81}{0{,}9208}}\approx 141{,}0\\ \mathrm{m/s\cdot m^{-1/2}}.
Portanto
v(r)=A\sqrt{h(r)}.

Passo 6

Calcular as velocidades em cada posição radial usando v=A\sqrt{h} (com h em metros).
Cálculos (apresento valores com 3 dígitos significativos):
  • Para r=0, h=0{,}0163\\ \mathrm{m}: v(0)=141{,}0\sqrt{0{,}0163}\approx 18{,}01\\ \mathrm{m/s}.
  • Para r=0{,}0303, h=0{,}0129\\ \mathrm{m}: v(0{,}0303)\approx 16{,}03\\ \mathrm{m/s}.
  • Para r=0{,}0606, h=0{,}0114\\ \mathrm{m}: v(0{,}0606)\approx 15{,}05\\ \mathrm{m/s}.
  • Para r=0{,}0910, h=0{,}0087\\ \mathrm{m}: v(0{,}0910)\approx 13{,}16\\ \mathrm{m/s}.
  • Para r=0{,}1213, h=0{,}0071\\ \mathrm{m}: v(0{,}1213)\approx 11{,}88\\ \mathrm{m/s}.
  • Para r=0{,}1516, h=0\\ \mathrm{m}: v(0{,}1516)=0\\ \mathrm{m/s}.
Breve observação:
  • Os números acima foram obtidos aplicando diretamente a fórmula ponto a ponto. Faz sentido físico: máxima velocidade no centro e zero na parede.

Passo 7

Expressar a vazão mássica \dot{m} para escoamento axisimétrico:
\dot{m}=2\pi \rho_{\text{ar}}\int_{0}^{R} v(r)\, r\, dr.
Explicação:
  • A massa que atravessa uma coroa elementar de raio r e espessura dr é \rho_{\text{ar}} v(r)\cdot (2\pi r\,dr). Integrando de 0 a R obtém-se a vazão mássica total.

Passo 8

Avaliar numericamente a integral usando a regra do trapézio nos valores medidos. Primeiro calculo f(r)=v(r)\,r em cada ponto:
Lista de r, v e f=v r:
  • r_0=0{,}0000, v_0=18{,}01, f_0=0.
  • r_1=0{,}0303, v_1=16{,}03, f_1\approx 0{,}4857.
  • r_2=0{,}0606, v_2=15{,}05, f_2\approx 0{,}9120.
  • r_3=0{,}0910, v_3=13{,}16, f_3\approx 1{,}1976.
  • r_4=0{,}1213, v_4=11{,}88, f_4\approx 1{,}4410.
  • r_5=0{,}1516, v_5=0, f_5=0.
Agora aplico a aproximação trapezoidal para \int_{0}^{R} v(r)\, r\, dr:
\int_{0}^{R} v(r)\, r\, dr \approx \sum_{i=0}^{4} \frac{f_i+f_{i+1}}{2}\,\Delta r_i,
onde \Delta r_i = r_{i+1}-r_i. Os \Delta r são aproximadamente 0{,}0303,\\\ 0{,}0303,\\\ 0{,}0304,\\\ 0{,}0303,\\\ 0{,}0303.
Realizando os produtos e somas:
  • contribuição 0–1: \approx 0{,}00736
  • contribuição 1–2: \approx 0{,}02118
  • contribuição 2–3: \approx 0{,}03207
  • contribuição 3–4: \approx 0{,}03997
  • contribuição 4–5: \approx 0{,}02183
Somando:
\int_{0}^{R} v(r)\, r\, dr \approx 0{,}12241\\ \mathrm{m^{2}/s}.

Passo 9

Calcular a vazão mássica usando o resultado da integral:
\dot{m}=2\pi \rho_{\text{ar}}\cdot 0{,}12241.
Substituindo \rho_{\text{ar}}=0{,}9208\\ \mathrm{kg/m^{3}}:
\dot{m}\approx 2\pi\cdot 0{,}9208\cdot 0{,}12241 \approx 0{,}7085\\ \mathrm{kg/s}.
Arredondando razoavelmente para três dígitos significativos:
\dot{m}\approx 0{,}709\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 10

Resultados auxiliares e verificação rápida (para informação e confiança):
  1. Vazão volumétrica:
\dot{V}=\frac{\dot{m}}{\rho_{\text{ar}}}\approx \frac{0{,}7085}{0{,}9208}\approx 0{,}7696\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  1. Velocidade média:
\bar{v}=\frac{\dot{V}}{A} \quad\text{com}\quad A=\pi R^{2}=\pi(0{,}1516)^{2}\approx 0{,}07217\\ \mathrm{m^{2}},
logo
\bar{v}\approx \frac{0{,}7696}{0{,}07217}\approx 10{,}66\\ \mathrm{m/s}.
  1. Número de Reynolds médio (verificar regime de escoamento):
\mathrm{Re}=\frac{\rho_{\text{ar}} \,\bar{v}\, D}{\mu}\approx \frac{0{,}9208\cdot 10{,}66\cdot 0{,}3032}{2{,}19\times10^{-5}}\approx 1{,}36\times 10^{5},
ou seja, escoamento turbulento — portanto faz sentido ter um perfil mais “achatado” que um parabólico laminar.
Comentário motivador: você fez direito — os números mostram fluxo turbulento, o que casa com o perfil medido (não parabólico perfeito).

Resposta

\dot{m}=0{,}709\\ \mathrm{kg/s}

Exercícios relacionados