1. Mostre que o fluxo de massa em relação à velocidade média volumétrica, j_{1}^{V}, e o fluxo molar em relação à velocidade média mássica, J_{1}^{v}, para um sistema binário estão relacionados com a expressão:
j_{1}^{V}=\rho \bar{V}_{2} \frac{M_{1}}{M_{2}} J_{1}^{v}
Dica: Observe o resultado do exercício anterior de como as velocidades referências dos fluxos, \boldsymbol{u}^{V} e \boldsymbol{v}, se relacionam.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a relação
j_{1}^{V}=\rho \bar{V}_{2} \frac{M_{1}}{M_{2}} J_{1}^{v},
para um sistema binário. Informações relevantes dadas/necessárias (sem resolver ainda):
  • Sistema binário: espécies 1 e 2.
  • c_i: concentração molar da espécie i (mol/m ^3).
  • M_i: massa molar da espécie i (kg/mol).
  • \rho_i = M_i c_i: densidade parcial (kg/m ^3); \rho = \rho_1+\rho_2 é a densidade total.
  • \bar V_i: volume molar parcial da espécie i (m ^3/mol).
  • \boldsymbol{v}_i: velocidade da espécie i.
  • \boldsymbol{v}: velocidade média mássica (bariocêntrica).
  • \boldsymbol{u}^{V}: velocidade média volumétrica.
  • Definições de fluxos que vamos usar:
    • \boldsymbol{J}_1^{v}: fluxo molar da espécie 1 relativo à velocidade média mássica \boldsymbol{v}.
    • \boldsymbol{j}_1^{V}: fluxo de massa da espécie 1 relativo à velocidade média volumétrica \boldsymbol{u}^{V}.
  • Dica do enunciado: há uma relação entre \boldsymbol{u}^{V} e \boldsymbol{v} obtida em exercício anterior; vamos usá‑la.

Passo 2

Definir as quantidades matematicamente (e explicar cada símbolo):
  • Densidade total:
\rho = M_1 c_1 + M_2 c_2.
  • Velocidade média mássica (bariocêntrica): é a média ponderada pelas densidades parciais,
\boldsymbol{v}=\frac{\rho_1\boldsymbol{v}_1+\rho_2\boldsymbol{v}_2}{\rho} =\frac{M_1 c_1 \boldsymbol{v}_1 + M_2 c_2 \boldsymbol{v}_2}{\rho}.
Isto garante que a soma dos fluxos de massa relativos a \boldsymbol{v} é zero (próximo passo).
  • Velocidade média volumétrica: como as frações volumétricas por mol são c_i\bar V_i e a soma dos volumes molares ponderados pelo número de mols por volume dá a unidade de volume do sistema, tem-se
\bar V_1 c_1 + \bar V_2 c_2 = 1,
e portanto a velocidade média volumétrica é
\boldsymbol{u}^{V}=\bar V_1 c_1 \boldsymbol{v}_1 + \bar V_2 c_2 \boldsymbol{v}_2.
  • Definição dos fluxos que vamos usar:
    • fluxo molar de 1 relativo a \boldsymbol{v}:
    \boldsymbol{J}_1^{v}=c_1(\boldsymbol{v}_1-\boldsymbol{v})\qquad(\text{unidade: mol m}^{-2}\text{s}^{-1}).
    • fluxo de massa de 1 relativo a \boldsymbol{u}^{V}:
    \boldsymbol{j}_1^{V}=\rho_1(\boldsymbol{v}_1-\boldsymbol{u}^{V})=M_1 c_1(\boldsymbol{v}_1-\boldsymbol{u}^{V})\qquad(\text{unidade: kg m}^{-2}\text{s}^{-1}).
Explicação rápida: \boldsymbol{J}_1^{v} mede quantos mols da espécie 1 cruzam por área por tempo observando o referencial que se move com a velocidade média mássica \boldsymbol{v}; \boldsymbol{j}_1^{V} mede a mesma ideia em termos de massa, e relativo ao referencial que se move com \boldsymbol{u}^{V}.

Passo 3

Usar a relação entre \boldsymbol{u}^{V} e \boldsymbol{v} (resultado do exercício anterior). Partindo da definição de \boldsymbol{u}^{V} e escrevendo c_i\boldsymbol{v}_i = \boldsymbol{J}_i^{v} + c_i\boldsymbol{v} (porque \boldsymbol{J}_i^{v}=c_i(\boldsymbol{v}_i-\boldsymbol{v})), obtemos:
\boldsymbol{u}^{V}=\bar V_1(c_1\boldsymbol{v}_1)+\bar V_2(c_2\boldsymbol{v}_2) =\bar V_1(\boldsymbol{J}_1^{v}+c_1\boldsymbol{v})+\bar V_2(\boldsymbol{J}_2^{v}+c_2\boldsymbol{v}).
Usando \bar V_1 c_1+\bar V_2 c_2=1 isso simplifica para
\boldsymbol{u}^{V}=\boldsymbol{v}+\bar V_1\boldsymbol{J}_1^{v}+\bar V_2\boldsymbol{J}_2^{v}.
Comentário: essa é a relação pedida pela dica. Tem interpretação física clara: a velocidade média volumétrica difere da média mássica por termos proporcionais aos fluxos molares multiplicados pelos volumes molares parciais.

Passo 4

Expressar \boldsymbol{j}_1^{V} em termos de \boldsymbol{J}_1^{v} e \boldsymbol{J}_2^{v}. Começamos por escrever
\boldsymbol{j}_1^{V}=M_1 c_1(\boldsymbol{v}_1-\boldsymbol{u}^{V}) = M_1\big[c_1(\boldsymbol{v}_1-\boldsymbol{v}) + c_1(\boldsymbol{v}-\boldsymbol{u}^{V})\big].
Reconhecendo c_1(\boldsymbol{v}_1-\boldsymbol{v})=\boldsymbol{J}_1^{v} e usando a relação do passo anterior \boldsymbol{v}-\boldsymbol{u}^{V}=-(\bar V_1\boldsymbol{J}_1^{v}+\bar V_2\boldsymbol{J}_2^{v}), obtemos
\boldsymbol{j}_1^{V}=M_1\boldsymbol{J}_1^{v}-M_1 c_1\big(\bar V_1\boldsymbol{J}_1^{v}+\bar V_2\boldsymbol{J}_2^{v}\big).
Agrupando termos com \boldsymbol{J}_1^{v}:
\boldsymbol{j}_1^{V}=M_1\big(1-c_1\bar V_1\big)\boldsymbol{J}_1^{v}-M_1 c_1\bar V_2\boldsymbol{J}_2^{v}.
Agora usar 1-c_1\bar V_1 = c_2\bar V_2 (porque \bar V_1 c_1+\bar V_2 c_2=1). Assim
\boldsymbol{j}_1^{V}=M_1 c_2\bar V_2\,\boldsymbol{J}_1^{v}-M_1 c_1\bar V_2\,\boldsymbol{J}_2^{v} = M_1\bar V_2\big(c_2\boldsymbol{J}_1^{v}-c_1\boldsymbol{J}_2^{v}\big).

Passo 5

Eliminar \boldsymbol{J}_2^{v} usando a condição de referência (definição da velocidade média mássica). Pela escolha de \boldsymbol{v} como velocidade média mássica, a soma dos fluxos de massa relativos a \boldsymbol{v} é zero:
M_1\boldsymbol{J}_1^{v}+M_2\boldsymbol{J}_2^{v}=\boldsymbol{0}.
Isto implica
\boldsymbol{J}_2^{v}=-\frac{M_1}{M_2}\boldsymbol{J}_1^{v}.
Substituindo em \boldsymbol{j}_1^{V}:
\boldsymbol{j}_1^{V}=M_1\bar V_2\Big(c_2\boldsymbol{J}_1^{v}-c_1\Big(-\frac{M_1}{M_2}\boldsymbol{J}_1^{v}\Big)\Big) = M_1\bar V_2\Big(c_2+\frac{M_1}{M_2}c_1\Big)\boldsymbol{J}_1^{v}.
Agora note que
c_2+\frac{M_1}{M_2}c_1=\frac{M_2 c_2 + M_1 c_1}{M_2}=\frac{\rho}{M_2}.
Portanto
\boldsymbol{j}_1^{V}=M_1\bar V_2\frac{\rho}{M_2}\,\boldsymbol{J}_1^{v} =\rho\,\bar V_2\frac{M_1}{M_2}\,\boldsymbol{J}_1^{v}.
Essa é exatamente a relação pedida.

Passo 6

Resumo físico e comentário final: a derivação usou apenas as definições das velocidades médias (mássica e volumétrica), a identidade de volumes molares \bar V_1 c_1+\bar V_2 c_2=1 e a condição de escolha da velocidade média mássica \sum_i M_i\boldsymbol{J}_i^{v}=\boldsymbol{0}. A expressão mostra como um fluxo molar relativo a um referencial mássico se converte num fluxo de massa relativo ao referencial volumétrico por fatores envolvendo densidade, volumes molares parciais e razões de massas molares — tem sentido físico direto: conversão mol ↔ massa e troca de referencial.

Resposta

\boldsymbol{j}_{1}^{V}=\rho \bar{V}_{2} \frac{M_{1}}{M_{2}} \boldsymbol{J}_{1}^{v}

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