- Mostre que o fluxo de massa em relação à velocidade média volumétrica,
, e o fluxo molar em relação à velocidade média mássica,
, para um sistema binário estão relacionados com a expressão:
Dica: Observe o resultado do exercício anterior de como as velocidades referências dos fluxos,
e
, se relacionam.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a relação
para um sistema binário. Informações relevantes dadas/necessárias (sem resolver ainda):
- Sistema binário: espécies
e . -
: concentração molar da espécie (mol/m ). -
: massa molar da espécie (kg/mol). -
: densidade parcial (kg/m ); é a densidade total. -
: volume molar parcial da espécie (m /mol). -
: velocidade da espécie . -
: velocidade média mássica (bariocêntrica). -
: velocidade média volumétrica. - Definições de fluxos que vamos usar:
-
: fluxo molar da espécie 1 relativo à velocidade média mássica . -
: fluxo de massa da espécie 1 relativo à velocidade média volumétrica .
-
- Dica do enunciado: há uma relação entre
e obtida em exercício anterior; vamos usá‑la.
Passo 2
Definir as quantidades matematicamente (e explicar cada símbolo):
- Densidade total:
- Velocidade média mássica (bariocêntrica): é a média ponderada pelas densidades parciais,
Isto garante que a soma dos fluxos de massa relativos a
é zero (próximo passo).
- Velocidade média volumétrica: como as frações volumétricas por mol são
e a soma dos volumes molares ponderados pelo número de mols por volume dá a unidade de volume do sistema, tem-se
e portanto a velocidade média volumétrica é
- Definição dos fluxos que vamos usar:
- fluxo molar de 1 relativo a
:
- fluxo de massa de 1 relativo a
:
- fluxo molar de 1 relativo a
Explicação rápida:
mede quantos mols da espécie 1 cruzam por área por tempo observando o referencial que se move com a velocidade média mássica
;
mede a mesma ideia em termos de massa, e relativo ao referencial que se move com
.
Passo 3
Usar a relação entre
e
(resultado do exercício anterior). Partindo da definição de
e escrevendo
(porque
), obtemos:
Usando
isso simplifica para
Comentário: essa é a relação pedida pela dica. Tem interpretação física clara: a velocidade média volumétrica difere da média mássica por termos proporcionais aos fluxos molares multiplicados pelos volumes molares parciais.
Passo 4
Expressar
em termos de
e
. Começamos por escrever
Reconhecendo
e usando a relação do passo anterior
, obtemos
Agrupando termos com
:
Agora usar
(porque
). Assim
Passo 5
Eliminar
usando a condição de referência (definição da velocidade média mássica). Pela escolha de
como velocidade média mássica, a soma dos fluxos de massa relativos a
é zero:
Isto implica
Substituindo em
:
Agora note que
Portanto
Essa é exatamente a relação pedida.
Passo 6
Resumo físico e comentário final: a derivação usou apenas as definições das velocidades médias (mássica e volumétrica), a identidade de volumes molares
e a condição de escolha da velocidade média mássica
. A expressão mostra como um fluxo molar relativo a um referencial mássico se converte num fluxo de massa relativo ao referencial volumétrico por fatores envolvendo densidade, volumes molares parciais e razões de massas molares — tem sentido físico direto: conversão mol ↔ massa e troca de referencial.