1. Obtenha a relação entre o fluxo molar em relação à velocidade média molar, \boldsymbol{J} e o fluxo molar em relação à velocidade média massa, \boldsymbol{J}^{\boldsymbol{v}}. Aplique seu resultado geral ao sistema binário e mostre que:
J_{1}^{v}=\frac{M_{2}}{M} J_{1}
Dica: A massa molar da mistura é ponderada pela fração molar da seguinte form: M= \sum_{i=1}^{n} x_{i} M_{i}.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Obter a relação geral entre o fluxo molar relativo à velocidade média molar, \mathbf{J}_i, e o fluxo molar relativo à velocidade média de massa, \mathbf{J}_i^{v}.
  • Aplicar o resultado ao caso binário e mostrar que
J_{1}^{v}=\frac{M_{2}}{M} J_{1}.
Informações dadas (e convenções que vou usar; estas são necessárias para começar):
  • A massa molar da mistura é \displaystyle M=\sum_{i=1}^{n} x_{i} M_{i}, onde x_i é a fração molar de i e M_i sua massa molar.
  • Vou usar c para a concentração molar total (mol/m^3) e c_i para a concentração molar da espécie i, com c_i = x_i c.
  • Não há outras informações externas; a resolução deve ser desenvolvida a partir das definições fundamentais de velocidades médias e fluxos.

Passo 2

Definições e explicação didática das quantidades envolvidas (importante para entender cada passo depois):
  • Velocidade de cada espécie: \mathbf{v}_i.
  • Velocidade média molar (molar-average velocity): \displaystyle \mathbf{v}=\sum_{k=1}^{n} x_{k}\,\mathbf{v}_{k}.
    • Interpretação: é a média das velocidades ponderada pelas frações molares; é a velocidade “molar-centrada”.
  • Velocidade média de massa (mass-average velocity): \displaystyle \mathbf{v}^{v}=\sum_{k=1}^{n} w_{k}\,\mathbf{v}_{k}, onde w_k é a fração em massa da espécie k.
    • Relação entre w_k e x_k: \displaystyle w_k=\frac{x_k M_k}{M}. Explicação: massa por mol de k é M_k; na mistura, a fração de massa resulta dessa ponderação.
    • Assim podemos escrever \mathbf{v}^{v}=\sum_{k=1}^{n}\frac{x_k M_k}{M}\,\mathbf{v}_k.
  • Fluxo molar de i relativo à velocidade média molar: \displaystyle \mathbf{J}_i = c_i(\mathbf{v}_i-\mathbf{v}) = c x_i(\mathbf{v}_i-\mathbf{v}).
    • Interpretação: é a contribuição molar de i em relação ao referencial que se move com \mathbf{v}.
  • Fluxo molar de i relativo à velocidade média de massa: \displaystyle \mathbf{J}_i^{v} = c_i(\mathbf{v}_i-\mathbf{v}^{v}) = c x_i(\mathbf{v}_i-\mathbf{v}^{v}).
  • Propriedade útil (decorrente da definição de \mathbf{v}): \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\mathbf{J}_k=0.
    • Explicação: \sum_k \mathbf{J}_k = c\sum_k x_k(\mathbf{v}_k-\mathbf{v}) = c\left(\sum_k x_k\mathbf{v}_k - \mathbf{v}\sum_k x_k\right)=0.

Passo 3

Início da derivação geral: relacionar \mathbf{J}_i^{v} com \mathbf{J}_i.
  • Escrevo \mathbf{J}_i^{v} isolando a diferença de velocidades: \mathbf{J}_i^{v} = c_i(\mathbf{v}_i-\mathbf{v}^{v}) = c_i(\mathbf{v}_i-\mathbf{v}) + c_i(\mathbf{v}-\mathbf{v}^{v}).Em termos de \mathbf{J}_i: \mathbf{J}_i^{v} = \mathbf{J}_i + c_i(\mathbf{v}-\mathbf{v}^{v}).
  • Portanto precisamos expressar c_i(\mathbf{v}-\mathbf{v}^{v}) em termos dos \mathbf{J}_k.

Passo 4

Calcular \mathbf{v}-\mathbf{v}^{v} e eliminar \mathbf{v}_k em favor de \mathbf{J}_k.
  • Primeiro, usar as expressões das médias: \mathbf{v}-\mathbf{v}^{v} = \sum_{k=1}^{n} x_k \mathbf{v}_k \;-\; \sum_{k=1}^{n} \frac{x_k M_k}{M}\mathbf{v}_k = \frac{1}{M}\sum_{k=1}^{n} x_k\bigl(M - M_k\bigr)\mathbf{v}_k.(aqui foi colocado em evidência o fator 1/M para ficar mais claro).
  • Multiplicando por c_i = c x_i: c_i(\mathbf{v}-\mathbf{v}^{v}) = \frac{c x_i}{M}\sum_{k=1}^{n} x_k\bigl(M - M_k\bigr)\mathbf{v}_k.
  • Agora substituo cada \mathbf{v}_k pela forma obtida a partir de \mathbf{J}_k: \mathbf{J}_k = c x_k(\mathbf{v}_k-\mathbf{v}) \quad\Rightarrow\quad \mathbf{v}_k = \mathbf{v} + \frac{\mathbf{J}_k}{c x_k}.
  • Inserindo isso na soma: \begin{aligned} c_i(\mathbf{v}-\mathbf{v}^{v}) &= \frac{c x_i}{M}\sum_{k=1}^{n} x_k\bigl(M - M_k\bigr)\left(\mathbf{v} + \frac{\mathbf{J}_k}{c x_k}\right)\\[4pt] &= \frac{c x_i}{M}\left[\left(\sum_{k=1}^{n} x_k(M-M_k)\right)\mathbf{v} + \sum_{k=1}^{n} x_k(M-M_k)\frac{\mathbf{J}_k}{c x_k}\right]. \end{aligned}
  • Observação importante: \displaystyle \sum_{k=1}^{n} x_k(M-M_k) = M - \sum_{k} x_k M_k = M - M = 0. Logo o primeiro termo some.
  • Assim sobra apenas o segundo termo e simplifica-se: c_i(\mathbf{v}-\mathbf{v}^{v}) = \frac{x_i}{M}\sum_{k=1}^{n}\bigl(M - M_k\bigr)\mathbf{J}_k.]

Passo 5

Substituir de volta em \mathbf{J}_i^{v} e simplificar usando \sum_k \mathbf{J}_k = 0.
  • Lembre: \mathbf{J}_i^{v} = \mathbf{J}_i + c_i(\mathbf{v}-\mathbf{v}^{v}). Substituindo o resultado do passo anterior: \mathbf{J}_i^{v} = \mathbf{J}_i + \frac{x_i}{M}\sum_{k=1}^{n}\bigl(M - M_k\bigr)\mathbf{J}_k.
  • Expandir o somatório usando M - M_k = M - M_k: \sum_{k=1}^{n}\bigl(M - M_k\bigr)\mathbf{J}_k = M\sum_{k=1}^{n}\mathbf{J}_k - \sum_{k=1}^{n} M_k\mathbf{J}_k.Como \sum_{k}\mathbf{J}_k=0, o primeiro termo some e resta \sum_{k=1}^{n}\bigl(M - M_k\bigr)\mathbf{J}_k = -\sum_{k=1}^{n} M_k\mathbf{J}_k.
  • Portanto a expressão fica \boxed{\displaystyle \mathbf{J}_i^{v} = \mathbf{J}_i - \frac{x_i}{M}\sum_{k=1}^{n} M_k\,\mathbf{J}_k.}Esta é a relação geral pedida entre o fluxo molar relativo à velocidade média molar e o fluxo molar relativo à velocidade média de massa.

Passo 6

Aplicação ao sistema binário ( n=2). Objetivo: obter \displaystyle J_{1}^{v}=\frac{M_{2}}{M} J_{1}.
  • Para n=2, as quantidades relevantes são J_1,J_2 (vou omitir o vetor e tratar escalares para a direção considerada; o raciocínio vale componente a componente).
  • Da propriedade de soma: J_1+J_2=0\Rightarrow J_2=-J_1.
  • Calculo o somatório \sum_{k} M_k J_k: \sum_{k=1}^{2} M_k J_k = M_1 J_1 + M_2 J_2 = M_1 J_1 + M_2(-J_1) = (M_1 - M_2)J_1.
  • Agora uso a fórmula geral do passo 5 para i=1: J_{1}^{v} = J_1 - \frac{x_1}{M}\sum_{k=1}^{2} M_k J_k = J_1 - \frac{x_1}{M}(M_1 - M_2)J_1.Agrupando fatores: J_{1}^{v} = J_1\left[1 - \frac{x_1(M_1 - M_2)}{M}\right].
  • Simplifico o colchete sabendo que M = x_1 M_1 + x_2 M_2 e que x_2=1-x_1: \begin{aligned} 1 - \frac{x_1(M_1 - M_2)}{M} &= \frac{M - x_1(M_1 - M_2)}{M}\\[4pt] &= \frac{x_1 M_1 + x_2 M_2 - x_1 M_1 + x_1 M_2}{M}\\[4pt] &= \frac{x_2 M_2 + x_1 M_2}{M} = \frac{(x_1+x_2)M_2}{M} = \frac{M_2}{M}. \end{aligned}(usei x_1+x_2=1).
  • Portanto concluímos \boxed{\displaystyle J_{1}^{v}=\frac{M_{2}}{M}\,J_{1},}que é exatamente o que se pedia.]

Resposta

J_{1}^{v}=\dfrac{M_{2}}{M}\,J_{1}

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