- Obtenha a relação entre o fluxo molar em relação à velocidade média molar,
e o fluxo molar em relação à velocidade média massa,
. Aplique seu resultado geral ao sistema binário e mostre que:
Dica: A massa molar da mistura é ponderada pela fração molar da seguinte form:
.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Obter a relação geral entre o fluxo molar relativo à velocidade média molar,
, e o fluxo molar relativo à velocidade média de massa, . - Aplicar o resultado ao caso binário e mostrar que
Informações dadas (e convenções que vou usar; estas são necessárias para começar):
- A massa molar da mistura é
, onde é a fração molar de e sua massa molar. - Vou usar
para a concentração molar total (mol/m^3) e para a concentração molar da espécie , com . - Não há outras informações externas; a resolução deve ser desenvolvida a partir das definições fundamentais de velocidades médias e fluxos.
Passo 2
Definições e explicação didática das quantidades envolvidas (importante para entender cada passo depois):
- Velocidade de cada espécie:
. - Velocidade média molar (molar-average velocity):
. - Interpretação: é a média das velocidades ponderada pelas frações molares; é a velocidade “molar-centrada”.
- Velocidade média de massa (mass-average velocity):
, onde é a fração em massa da espécie . - Relação entre
e : . Explicação: massa por mol de é ; na mistura, a fração de massa resulta dessa ponderação. - Assim podemos escrever
- Relação entre
- Fluxo molar de
relativo à velocidade média molar: . - Interpretação: é a contribuição molar de
em relação ao referencial que se move com .
- Interpretação: é a contribuição molar de
- Fluxo molar de
relativo à velocidade média de massa: . - Propriedade útil (decorrente da definição de
): . - Explicação:
.
- Explicação:
Passo 3
Início da derivação geral: relacionar
com
.
- Escrevo
isolando a diferença de velocidades: Em termos de : - Portanto precisamos expressar
em termos dos .
Passo 4
Calcular
e eliminar
em favor de
.
- Primeiro, usar as expressões das médias:
(aqui foi colocado em evidência o fator para ficar mais claro). - Multiplicando por
: - Agora substituo cada
pela forma obtida a partir de : - Inserindo isso na soma:
- Observação importante:
. Logo o primeiro termo some. - Assim sobra apenas o segundo termo e simplifica-se:
]
Passo 5
Substituir de volta em
e simplificar usando
.
- Lembre:
. Substituindo o resultado do passo anterior: - Expandir o somatório usando
: Como , o primeiro termo some e resta - Portanto a expressão fica
Esta é a relação geral pedida entre o fluxo molar relativo à velocidade média molar e o fluxo molar relativo à velocidade média de massa.
Passo 6
Aplicação ao sistema binário (
). Objetivo: obter
.
- Para
, as quantidades relevantes são (vou omitir o vetor e tratar escalares para a direção considerada; o raciocínio vale componente a componente). - Da propriedade de soma:
. - Calculo o somatório
: - Agora uso a fórmula geral do passo 5 para
: Agrupando fatores: - Simplifico o colchete sabendo que
e que : (usei ). - Portanto concluímos
que é exatamente o que se pedia.]