Um certo índice econômico, necessariamente maior que 1, foi determinado para um conjunto de
empresas analisadas. Os resultados são dados a seguir. Calcule a média, a mediana e o desvio-padrão desses dados.
Classes
Frequências
14
22
16
13
7
3
4
1
| Classes | Frequências |
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14 |
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22 |
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16 |
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13 |
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7 |
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3 |
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4 |
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1 |
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a média, a mediana e o desvio-padrão para os dados agrupados nas classes abaixo (as frequências foram dadas na tabela):
- Classes e frequências:
-
: -
: -
: -
: -
: -
: -
: -
:
-
Vou usar essas informações sem perguntar nada a mais. O total de observações (somatório das frequências) é uma informação importante que será usada:
soma das frequências.
Passo 2
Cálculo da média para dados agrupados — explicação e aplicação passo a passo.
Explicação didática: para dados agrupados em classes usa-se a aproximação pela marca de classe (ponto médio de cada classe). A fórmula da média (aritmética) para dados agrupados é
onde:
-
é a frequência da i-ésima classe, -
é a marca de classe (ponto médio da i-ésima classe), -
é o número total de observações.
Cálculo das marcas de classe
(cada marca é
):
Agora calculamos
para cada classe e somamos. Primeiro o total de observações:
Cálculo de
:
Somando:
Aplicando a fórmula da média:
Comentário rápido para encorajar: já temos a média! Ótimo — vamos com calma para a mediana.
Passo 3
Cálculo da mediana para dados agrupados — explicação e aplicação.
Explicação didática: para dados agrupados, a mediana é obtida interpolando dentro da classe mediana (a classe que contém a observação de ordem
). A fórmula usada é
onde:
-
é o limite inferior da classe mediana, -
é a amplitude (largura) da classe, -
é a frequência acumulada antes da classe mediana (ou seja, soma das frequências das classes anteriores), -
é a frequência da classe mediana, -
é o total de observações.
Passos para achar a classe mediana:
- Posicionamento da mediana:
(queremos a 40ª observação). - Frequências acumuladas por classe:
- após classe 1:
, - após classe 2:
, - após classe 3:
.
- após classe 1:
- A 40ª observação está na classe 3 (
), pois a acumulada passa de 36 para 52 nessa classe.
Agora os parâmetros:
-
(limite inferior da classe mediana), -
, -
(acumulada antes da classe mediana), -
.
Aplicando a fórmula:
Então a mediana aproximada é
.
Passo 4
Cálculo do desvio-padrão (explicação de conceitos e aplicação).
Explicação didática curta: o desvio-padrão mede a dispersão dos dados em torno da média. Para dados agrupados podemos calcular a variância (e daí o desvio-padrão) usando as marcas de classe. Existem duas fórmulas comuns:
- Variância populacional (quando se considera os
observados como toda a população): O desvio-padrão populacional é . - Variância amostral (quando se vê os dados como uma amostra e deseja-se estimar a variância da população):
e .
Aqui vou calcular o desvio-padrão populacional
(porque o enunciado tratou do conjunto de
empresas analisadas). Se quiser o desvio amostral, o processo é idêntico e eu posso dar o valor também — mas já aviso que a diferença será pequena.
Primeiro calculamos
. Já temos
e
; calcule
e depois multiplique por
:
Somando os produtos:
Agora aplicamos a fórmula da variância populacional:
Calculando cada termo:
Logo
E o desvio-padrão populacional é
Nota rápida (se for de interesse): a estimativa amostral daria
ligeiramente maior por causa do divisor
.
Resposta
Média:
Mediana:
Desvio-padrão (populacional):
Mediana:
Desvio-padrão (populacional):