Um certo índice econômico, necessariamente maior que 1, foi determinado para um conjunto de n empresas analisadas. Os resultados são dados a seguir. Calcule a média, a mediana e o desvio-padrão desses dados.
Classes Frequências
1,00 \vdash 1,07 14
1,07 \vdash 1,14 22
1,14 \vdash 1,21 16
1,21 \vdash 1,28 13
1,28 \vdash 1,35 7
1,35 \vdash 1,42 3
1,42 \vdash 1,49 4
1,49 \vdash 1,56 1

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a média, a mediana e o desvio-padrão para os dados agrupados nas classes abaixo (as frequências foram dadas na tabela):
  • Classes e frequências:
    • 1{,}00 \vdash 1{,}07: 14
    • 1{,}07 \vdash 1{,}14: 22
    • 1{,}14 \vdash 1{,}21: 16
    • 1{,}21 \vdash 1{,}28: 13
    • 1{,}28 \vdash 1{,}35: 7
    • 1{,}35 \vdash 1{,}42: 3
    • 1{,}42 \vdash 1{,}49: 4
    • 1{,}49 \vdash 1{,}56: 1
Vou usar essas informações sem perguntar nada a mais. O total de observações (somatório das frequências) é uma informação importante que será usada: n= soma das frequências.

Passo 2

Cálculo da média para dados agrupados — explicação e aplicação passo a passo.
Explicação didática: para dados agrupados em classes usa-se a aproximação pela marca de classe (ponto médio de cada classe). A fórmula da média (aritmética) para dados agrupados é
\bar{x}=\frac{\sum_{i} f_i x_i}{n},
onde:
  • f_i é a frequência da i-ésima classe,
  • x_i é a marca de classe (ponto médio da i-ésima classe),
  • n=\sum_i f_i é o número total de observações.
Cálculo das marcas de classe x_i (cada marca é \dfrac{\text{limite inferior}+\text{limite superior}}{2}):
\begin{aligned} x_1&=\dfrac{1{,}00+1{,}07}{2}=1{,}035,\\\ x_2&=\dfrac{1{,}07+1{,}14}{2}=1{,}105,\\\ x_3&=\dfrac{1{,}14+1{,}21}{2}=1{,}175,\\\ x_4&=\dfrac{1{,}21+1{,}28}{2}=1{,}245,\\\ x_5&=\dfrac{1{,}28+1{,}35}{2}=1{,}315,\\\ x_6&=\dfrac{1{,}35+1{,}42}{2}=1{,}385,\\\ x_7&=\dfrac{1{,}42+1{,}49}{2}=1{,}455,\\\ x_8&=\dfrac{1{,}49+1{,}56}{2}=1{,}525. \end{aligned}
Agora calculamos f_i x_i para cada classe e somamos. Primeiro o total de observações:
n=14+22+16+13+7+3+4+1=80.
Cálculo de f_i x_i:
\begin{aligned} 14\cdot 1{,}035 &= 14{,}49,\\\\ 22\cdot 1{,}105 &= 24{,}31,\\\\ 16\cdot 1{,}175 &= 18{,}80,\\\\ 13\cdot 1{,}245 &= 16{,}185,\\\\ 7\cdot 1{,}315 &= 9{,}205,\\\\ 3\cdot 1{,}385 &= 4{,}155,\\\\ 4\cdot 1{,}455 &= 5{,}82,\\\\ 1\cdot 1{,}525 &= 1{,}525. \end{aligned}
Somando:
\sum_i f_i x_i =14{,}49+24{,}31+18{,}80+16{,}185+9{,}205+4{,}155+5{,}82+1{,}525=94{,}49.
Aplicando a fórmula da média:
\bar{x}=\frac{94{,}49}{80}=1{,}181125\approx 1{,}1811.
Comentário rápido para encorajar: já temos a média! Ótimo — vamos com calma para a mediana.

Passo 3

Cálculo da mediana para dados agrupados — explicação e aplicação.
Explicação didática: para dados agrupados, a mediana é obtida interpolando dentro da classe mediana (a classe que contém a observação de ordem n/2). A fórmula usada é
\text{Mediana} = L + \frac{\frac{n}{2}-F_{a}}{f_m}\cdot h,
onde:
  • L é o limite inferior da classe mediana,
  • h é a amplitude (largura) da classe,
  • F_{a} é a frequência acumulada antes da classe mediana (ou seja, soma das frequências das classes anteriores),
  • f_m é a frequência da classe mediana,
  • n é o total de observações.
Passos para achar a classe mediana:
  • Posicionamento da mediana: \dfrac{n}{2}=\dfrac{80}{2}=40 (queremos a 40ª observação).
  • Frequências acumuladas por classe:
    • após classe 1: 14,
    • após classe 2: 14+22=36,
    • após classe 3: 36+16=52.
  • A 40ª observação está na classe 3 ( 1{,}14\vdash1{,}21), pois a acumulada passa de 36 para 52 nessa classe.
Agora os parâmetros:
  • L=1{,}14 (limite inferior da classe mediana),
  • h=1{,}21-1{,}14=0{,}07,
  • F_{a}=36 (acumulada antes da classe mediana),
  • f_m=16.
Aplicando a fórmula:
\text{Mediana}=1{,}14+\frac{40-36}{16}\cdot 0{,}07 =1{,}14+\frac{4}{16}\cdot 0{,}07 =1{,}14+0{,}25\cdot 0{,}07 =1{,}14+0{,}0175 =1{,}1575.
Então a mediana aproximada é 1{,}1575.

Passo 4

Cálculo do desvio-padrão (explicação de conceitos e aplicação).
Explicação didática curta: o desvio-padrão mede a dispersão dos dados em torno da média. Para dados agrupados podemos calcular a variância (e daí o desvio-padrão) usando as marcas de classe. Existem duas fórmulas comuns:
  • Variância populacional (quando se considera os n observados como toda a população): \sigma^{2}=\frac{\sum_i f_i x_i^{2}}{n}-\bar{x}^{2}.O desvio-padrão populacional é \sigma=\sqrt{\sigma^{2}}.
  • Variância amostral (quando se vê os dados como uma amostra e deseja-se estimar a variância da população): s^{2}=\frac{\sum_i f_i x_i^{2}-n\bar{x}^{2}}{n-1},e s=\sqrt{s^{2}}.
Aqui vou calcular o desvio-padrão populacional \sigma (porque o enunciado tratou do conjunto de n empresas analisadas). Se quiser o desvio amostral, o processo é idêntico e eu posso dar o valor também — mas já aviso que a diferença será pequena.
Primeiro calculamos \sum_i f_i x_i^{2}. Já temos x_i e f_i; calcule x_i^{2} e depois multiplique por f_i:
\begin{aligned} x_1^{2}&=1{,}035^{2}=1{,}071225,\quad &14\cdot x_1^{2}=14{,}99715,\\\ x_2^{2}&=1{,}105^{2}=1{,}221025,\quad &22\cdot x_2^{2}=26{,}86255,\\\ x_3^{2}&=1{,}175^{2}=1{,}380625,\quad &16\cdot x_3^{2}=22{,}09,\\\ x_4^{2}&=1{,}245^{2}=1{,}550025,\quad &13\cdot x_4^{2}=20{,}150325,\\\ x_5^{2}&=1{,}315^{2}=1{,}729225,\quad &7\cdot x_5^{2}=12{,}104575,\\\ x_6^{2}&=1{,}385^{2}=1{,}917225,\quad &3\cdot x_6^{2}=5{,}751675,\\\ x_7^{2}&=1{,}455^{2}=2{,}117025,\quad &4\cdot x_7^{2}=8{,}4681,\\\ x_8^{2}&=1{,}525^{2}=2{,}325625,\quad &1\cdot x_8^{2}=2{,}325625. \end{aligned}
Somando os produtos:
\sum_i f_i x_i^{2}=14{,}99715+26{,}86255+22{,}09+20{,}150325+12{,}104575+5{,}751675+8{,}4681+2{,}325625=112{,}75.
Agora aplicamos a fórmula da variância populacional:
\sigma^{2}=\frac{\sum_i f_i x_i^{2}}{n}-\bar{x}^{2} =\frac{112{,}75}{80}-(1{,}181125)^{2}.
Calculando cada termo:
\frac{112{,}75}{80}=1{,}409375,
\bar{x}^{2}=(1{,}181125)^{2}=1{,}395056265625.
Logo
\sigma^{2}=1{,}409375-1{,}395056265625=0{,}014318734375.
E o desvio-padrão populacional é
\sigma=\sqrt{0{,}014318734375}\approx 0{,}1196.
Nota rápida (se for de interesse): a estimativa amostral daria
s=\sqrt{\frac{\sum_i f_i x_i^{2}-n\bar{x}^{2}}{n-1}}\approx 0{,}1204,
ligeiramente maior por causa do divisor n-1.

Resposta

Média: \bar{x}=1{,}181125\approx 1{,}1811
Mediana: \text{Mediana}=1{,}1575
Desvio-padrão (populacional): \sigma\approx 0{,}1196

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