Do topo de um prédio de altura h=100 m, uma pedra é atirada verticalmente para cima com velocidade 10 ms. Qual é a altura máxima que ela alcança e quando isso ocorre? Quanto tempo a pedra se encontra em queda entre h=50 m e o solo? Suponha que exista um buraco de 50 m no solo. Quando e com qual velocidade a pedra atinge o fundo deste buraco.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um prédio com 100 metros de altura e joga uma pedra para cima com uma velocidade inicial de 10 metros por segundo. Vamos usar conceitos de cinemática para descobrir:
  1. A altura máxima que a pedra alcança e quando isso acontece.
  2. Quanto tempo a pedra leva para cair entre 50 metros do chão até o solo.
  3. Quando e com que velocidade a pedra atinge o fundo de um buraco de 50 metros no solo.
Vamos precisar usar as fórmulas de movimento uniformemente variado, que envolvem velocidade, aceleração (neste caso, a gravidade), tempo e posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a altura máxima que a pedra alcança e quando isso ocorre. Quando a pedra sobe, a velocidade vai diminuindo até chegar a zero no ponto mais alto.
Usamos a fórmula:
v = v0 + a cdot t
Aqui, $ v $ é a velocidade final (0 m/s no ponto mais alto), $ v_0 $ é a velocidade inicial (10 m/s), e $ a $ é a aceleração (como a gravidade está puxando pra baixo, é -9,8 m/s²).
Rearranjando para encontrar o tempo:
v
v0
a
Agora, para achar a altura máxima adicional que a pedra sobe:
0 = 10 - 9,8 cdot t
9,8 cdot t = 10
t = 109,8 approx 1,02 segundos
Então, a altura máxima em relação ao topo do prédio é de 5 metros. Portanto, a altura máxima total em relação ao chão é:
h = v0 cdot t + 12 a cdot t^2

Passo 3

Agora, vamos calcular quanto tempo a pedra leva para cair do ponto mais alto (105 metros) até 50 metros acima do solo.
A pedra está caindo de uma altura de 105 metros até 50 metros. A diferença é de 55 metros.
Usamos a fórmula de posição:
s = s0 + v0 cdot t + 12 a cdot t^2
Aqui, $ s_0 = 105 m $, $ v_0 = 0 m/s $ (no ponto mais alto), $ a = -9,8 m/s^2 $, e $ s = 50 m $.
Substituindo:
s0 = 105 m
v0 = 0 m/s
a = -9,8 m/s^2
s = 50 m
50 = 105 + 0 cdot t - 12 cdot 9,8 cdot t^2
50 = 105 - 4,9 t^2
Então, a pedra leva aproximadamente 3,35 segundos para cair de 105 metros até 50 metros acima do solo.

Passo 4

Por último, vamos ver quando e com que velocidade a pedra atinge o fundo de um buraco de 50 metros no solo. Isso significa que a pedra tem que descer mais 50 metros a partir de 0 metros (chão do prédio).
Usamos novamente a fórmula de posição, agora com $ s_0 = 0 m $, $ s = -50 m $ (já que está descendo), $ v_0 = 0 m/s $ (no ponto mais baixo antes de entrar no buraco), e $ a = -9,8 m/s^2 $.
s0 = 0 m
s = -50 m
v0 = 0 m/s
a = -9,8 m/s^2
-50 = 0 + 0 cdot t - 12 cdot 9,8 cdot t^2
Para encontrar a velocidade no fundo do buraco, usamos:
-50 = -4,9 t^2
4,9 t^2 = 50
O sinal negativo indica que a velocidade está para baixo.

Resposta

A pedra atinge o fundo do buraco 3,19 segundos após começar a descer para o solo, com uma velocidade de aproximadamente 31,26 metros por segundo para baixo.

Exercícios relacionados