Ao medir indiretamente uma distância com um teodolito, obteve-se Ls=2,35 m, Li=1,50 m, I=1,52 m e alpha=8^circ 16^circ 42^prime prime descendente. Calcular a distância horizontal (DH) e a distância vertical ou diferença de nível (DN) desse alinhamento.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que, usando um teodolito em modo estadiamétrico (ou seja, você mede um “intercepto” no bastão e transforma isso em distância), obteve-se:
  • s = 2,35 m (diferença entre leituras do bastão)
  • i = 1,50 m (constante multiplicativa do instrumento)
  • c = 1,52 m (constante aditiva do instrumento)
  • α = 8° 16′ 42″ descendente (ângulo de mira para baixo)
O que vamos usar:
  1. A fórmula da estadiametria para obter a distância inclinada D:
    D = i·s + c
  2. Funções trigonométricas para decompor D em horizontal (DH) e vertical (DN):
    DH = D·cos α
    DN = –D·sin α (o sinal menos indica que é pra baixo)

Passo 2

Calcular primeiro a distância inclinada D usando estadiametria. A teoria aqui é simples: o teodolito “vê” um pedaço do bastão de altura s, multiplica por i e soma c:
D = i,s + c
Substituindo:
D = 1,50 times 2,35 + 1,52 = 3,525 + 1,52 = 5,045 m

Passo 3

Agora, para achar a projeção horizontal DH, usamos o cosseno do ângulo de depressão. Lembra que, em triângulo retângulo, cateto adjacente = hipotenusa·cos. Aqui:
DH = D cdot cosalpha
Primeiro converta α pra graus decimais ou use direto em sexagesimal numa calculadora científica. Em decimal,
alpha = 8° + tfrac1660° + tfrac423600° approx 8,2783°
Então
DH = 5,045 times cos(8,2783°) approx 5,045 times 0,9895 approx 4,99 m

Passo 4

Para a diferença de nível DN, é o cateto oposto: hipotenusa·sen, e aplicamos sinal negativo porque é para baixo (descendente):
DN = -,D cdot sinalpha
Usando o mesmo α:
DN = -,5,045 times sin(8,2783°) approx -,5,045 times 0,1446 approx -,0,73 m

Resposta

Distância horizontal (DH) ≃ 4,99 m
Diferença de nível (DN) ≃ –0,73 m (ou declive de 0,73 m)

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