Mediu-se a constante de velocidades de uma dada reação em duas temperaturas ( \mathrm{T}_{1}=300 \mathrm{~K} e \mathrm{T}_{2}=400 \mathrm{~K} ), e verificou-se que a constante de velocidades passou de \mathrm{k}_{1}=0,001 \mathrm{~s}^{-1} para \mathrm{k}_{2}=0,1 \mathrm{~s}^{-1}. Calcule o valor da energia de ativação e o fator de frequência para a reação em questão? (Resp.: \mathrm{E}_{\mathrm{a}} =45,9 \mathrm{KJ} / \mathrm{mol} e \mathrm{A}=1 \times 10^{5} \mathrm{~s}^{-1} )

Passo 1

O enunciado nos dá duas constantes de velocidade para a mesma reação medidas em temperaturas diferentes: \mathrm{T}_{1}=300\\ \mathrm{K} com \mathrm{k}_{1}=0,001\\ \mathrm{s}^{-1} e \mathrm{T}_{2}=400\\ \mathrm{K} com \mathrm{k}_{2}=0,1\\ \mathrm{s}^{-1}. Vamos usar a equação de Arrhenius para determinar a energia de ativação E_{a} e o fator de frequência A.

Passo 2

A equação de Arrhenius é
k = A \exp\Bigl(-\frac{E_{a}}{R\,T}\Bigr)
Tomando razão entre k_{2} e k_{1} e aplicando logaritmo natural, obtemos
\ln\!\Bigl(\frac{k_{2}}{k_{1}}\Bigr) = \frac{E_{a}}{R}\Bigl(\frac{1}{T_{1}}-\frac{1}{T_{2}}\Bigr)
Isolando E_{a}:
E_{a} = R\;\frac{\ln\!\bigl(k_{2}/k_{1}\bigr)}{\bigl(\tfrac{1}{T_{1}}-\tfrac{1}{T_{2}}\bigr)}.

Passo 3

Calculemos os termos numéricos:
\ln\!\Bigl(\frac{0,1}{0,001}\Bigr) = \ln(100) = 4,605,
\frac{1}{T_{1}}-\frac{1}{T_{2}} = \frac{1}{300}-\frac{1}{400} = \frac{4-3}{1200} = \frac{1}{1200} \approx 8{,}33\times10^{-4}\\ \mathrm{K^{-1}}.
Substituindo em E_{a}:
E_{a} = 8{,}314\;\frac{4,605}{8{,}33\times10^{-4}} \approx 4,60\times10^{4}\\ \mathrm{J/mol} = 45{,}9\\ \mathrm{kJ/mol}.

Passo 4

Para encontrar A, voltamos à forma original:
k_{1} = A \exp\Bigl(-\frac{E_{a}}{R\,T_{1}}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad A = k_{1}\,\exp\Bigl(\frac{E_{a}}{R\,T_{1}}\Bigr).
Substituindo valores:
A = 0,001\;\exp\!\Bigl(\frac{4,60\times10^{4}}{8{,}314\times300}\Bigr) = 0,001\;\exp(18{,}42) \approx 0,001\times1,00\times10^{8} = 1,00\times10^{5}\\ \mathrm{s^{-1}}.

Resposta

E_{a}=45{,}9\\ \mathrm{kJ/mol} A=1\times10^{5}\\ \mathrm{s^{-1}}

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