Mediu-se a dureza Brinell
em
de uma amostra de aço temperado num durômetro, Sabe-se que a força
em [N] foi aplicada em cima da esfera penetradora com diâmetro
em [mm], causando uma marca de penetração com diâmetro
em [mm], medida várias vezes com um microscópio. Foram levantados os seguintes dados experimentais (sendo
número de medidas individuais):
Massa utilizada
com uma incerteza expandida de
,
Constante gravitacional no campus da UFMG:
Diagonal
com uma incerteza expandida de
Diagonal
Analise o resultado e discuta fatos relevantes, caso se deseje diminuir a incerteza de
.
Massa utilizada
Constante gravitacional no campus da UFMG:
Diagonal
Diagonal
Analise o resultado e discuta fatos relevantes, caso se deseje diminuir a incerteza de
Passo 1
O enunciado pede calcular a dureza Brinell medida e avaliar sua incerteza, usando a fórmula dada, a partir das medições e incertezas fornecidas. Dados fornecidos (vou escrever cada quantidade com sua unidade e incerteza informada):
Fórmula dada para a dureza Brinell (em
):
O que preciso entregar: valor numérico de
e sua incerteza (discutir contribuições e como reduzir a incerteza).
Passo 2
Observações sobre unidades e assunções (muito importantes para a propagação de incertezas):
-
em kg vezes em m/s dá força em N (ok para usar com em mm; o resultado fica em como pedido). - O enunciado diz explicitamente que as incertezas de
e são “incertezas expandidas”. Vou assumir que estas incertezas expandidas correspondem a um fator de cobertura (prática comum em medição). Assim para obter a incerteza padrão divido por 2. - Para
foi dado com — tratarei esse como incerteza padrão (tipo A) já que há muitas medições. - Para
foi dado com . Normalmente isso indica média desvio padrão da amostra; para obter a incerteza padrão da média divido por . Vou assumir essa interpretação (se fosse incerteza já expandida, o resultado mudaria; vou explicitar isso depois).
Essas suposições vou explicitar durante os cálculos.
Passo 3
Cálculo do valor nominal de
(substituir valores nominais):
Calcule primeiro .
Calcule primeiro
Calcular
:
Força aplicada:
Constante:
Agora
:
Arredondando razoavelmente:
. (Este é o valor nominal, sem incerteza ainda.)
Passo 4
Estratégia para propagar incertezas (aula curta e prática):
- Usamos a propagação por derivadas (método de primeira ordem): se
e as incertezas padrão dos são , a variância combinada é
assumindo entradas independentes.
- Aqui é conveniente separar
e . Como , uma forma útil é:
onde
e
são as incertezas padrão em
e
.
- Para
(produto ) vale
- Para
calculamos as derivadas parciais de em relação a e :
Derivadas:
Então
Passo 5
Calcular as incertezas padrão dos dados (usando as assunções do Passo 2):
- Para
: incerteza expandida e assumimos incerteza padrão
- Para
: foi dado com . Tomamos esse valor como incerteza padrão:
- Para
: incerteza expandida e assumimos :
- Para
: dado com . Interpretando como desvio-padrão amostral , a incerteza padrão da média é
(Se em vez disso
fosse incerteza expandida, teria que dividir por 2; mas a interpretação acima é a mais comum para
.)
Passo 6
Calcular
(incerteza da força
):
Portanto
(incerteza padrão da força).
Passo 7
Calcular
pela fórmula com derivadas (vamos usar os valores numéricos já calculados):
Recordando ,
,
.
Derivadas:
Recordando
Derivadas:
Agora as contribuições:
Como a primeira contribuição é muito menor que a segunda, temos
Relativamente,
Passo 8
Combinar incertezas para
:
Usando
Usando
substituindo valores:
Assim a incerteza padrão absoluta é
A incerteza expandida com
(prática comum, intervalo de confiança aproximado 95%) é
Arredondando para números redondos condizentes com a incerteza:
(incerteza expandida
).
Passo 9
Discussão das contribuições e sugestões práticas para reduzir a incerteza:
- Principais contribuições: o termo dominante na incerteza vem de
(medida do diâmetro da impressão). Isso ficou claro porque (≈2{,}62%) domina em relação a (≈0{,}54%). Em particular, a sensibilidade geométrica da expressão faz com que pequenas incertezas em se traduzam em incertezas relativamente grandes em (e portanto em ). - Consequências práticas:
- Aumentar o número de medições de
reduzirá a incerteza padrão da média ( ). Como aqui , dobrar ou triplicar o número de medidas de já reduziria sensivelmente e, consequentemente, . - Melhorar a resolução/precisão do microscópio (menos erro sistemático e menor desvio padrão nas medidas de
) tem grande impacto. - A incerteza de
é irrelevante aqui (contribuição desprezível), então não vale a pena investir muito em reduzir . - A incerteza de
e também são pouco influentes; a massa já tem boa precisão (incerteza padrão 0{,}5%), então calibrar melhor a balança só traria ganhos pequenos.
- Aumentar o número de medições de
- Observação sobre as suposições: se alguma das incertezas fornecidas (por exemplo a de
) fosse uma incerteza expandida em vez de desvio-padrão, os números mudariam; por isso em relatórios reais sempre documente se os valores são desvios padrão ou incertezas expandidas e qual foi usado.