Mediu-se a dureza Brinell \left.H B=\frac{0,204}{\pi} \cdot \frac{m \cdot g}{D\left(D-\sqrt{D^{2}-d^{2}}\right.}\right) \quad em \left[\mathrm{N} / \mathrm{mm}^{2}\right] de uma amostra de aço temperado num durômetro, Sabe-se que a força \mathrm{m} g \mathrm{~g} em [N] foi aplicada em cima da esfera penetradora com diâmetro D em [mm], causando uma marca de penetração com diâmetro d em [mm], medida várias vezes com um microscópio. Foram levantados os seguintes dados experimentais (sendo \mathrm{n}= número de medidas individuais):
Massa utilizada m=30 \mathrm{~kg} com uma incerteza expandida de 1 \%, (\mathrm{n}=12)
Constante gravitacional no campus da UFMG: g=(9,78 \pm 0,02) \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2},(\mathrm{n}>120)
Diagonal D=1,000 \mathrm{~mm} com uma incerteza expandida de 0,1 \%,(\mathrm{n}=6)
Diagonal d=(0,270 \pm 0,006) \mathrm{mm},(\mathrm{n}=3)
Analise o resultado e discuta fatos relevantes, caso se deseje diminuir a incerteza de H B.

Passo 1

O enunciado pede calcular a dureza Brinell medida e avaliar sua incerteza, usando a fórmula dada, a partir das medições e incertezas fornecidas. Dados fornecidos (vou escrever cada quantidade com sua unidade e incerteza informada):
m=30\\ \text{kg},\quad \text{incerteza expandida }1\% \\ (n=12)
g=(9,78\pm0,02)\\ \text{m/s}^2\\ (n>120)
D=1,000\\ \text{mm},\quad \text{incerteza expandida }0{,}1\%\\ (n=6)
d=(0{,}270\pm0{,}006)\\ \text{mm}\\ (n=3)
Fórmula dada para a dureza Brinell (em \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2):
H_B=\frac{0,204}{\pi}\cdot\frac{m\cdot g}{D\bigl(D-\sqrt{D^2-d^2}\bigr)}.
O que preciso entregar: valor numérico de H_B e sua incerteza (discutir contribuições e como reduzir a incerteza).

Passo 2

Observações sobre unidades e assunções (muito importantes para a propagação de incertezas):
  • m em kg vezes g em m/s ^2 dá força em N (ok para usar com D,d em mm; o resultado fica em \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2 como pedido).
  • O enunciado diz explicitamente que as incertezas de m e D são “incertezas expandidas”. Vou assumir que estas incertezas expandidas correspondem a um fator de cobertura k=2 (prática comum em medição). Assim para obter a incerteza padrão divido por 2.
  • Para g foi dado \pm0,02 com n>120 — tratarei esse \pm0,02 como incerteza padrão (tipo A) já que há muitas medições.
  • Para d foi dado (0{,}270\pm0{,}006)\\ \text{mm} com n=3. Normalmente isso indica média \pm desvio padrão da amostra; para obter a incerteza padrão da média divido por \sqrt{n}. Vou assumir essa interpretação (se \pm0{,}006 fosse incerteza já expandida, o resultado mudaria; vou explicitar isso depois).
    Essas suposições vou explicitar durante os cálculos.

Passo 3

Cálculo do valor nominal de H_B (substituir valores nominais):
Calcule primeiro S=\sqrt{D^2-d^2}.
D=1{,}000\\ \text{mm},\quad d=0{,}270\\ \text{mm}
S=\sqrt{1{,}000^2-0{,}270^2}=\sqrt{1-0{,}0729}=\sqrt{0{,}9271}=0{,}962892\\ (\text{mm})
Calcular Q=D(D-S):
Q=1{,}000\cdot(1{,}000-0{,}962892)=1{,}000\cdot0{,}037108=0{,}037108\\ (\text{mm}^2)
Força aplicada:
F=m\cdot g=30\cdot 9{,}78=293{,}4\\ \text{N}
Constante:
C=\frac{0{,}204}{\pi}=0{,}064934\ldots
Agora H_B:
H_B=C\cdot\frac{F}{Q}=0{,}064934\cdot\frac{293{,}4}{0{,}037108}=513{,}66\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2.
Arredondando razoavelmente: H_B\approx 513{,}7\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2. (Este é o valor nominal, sem incerteza ainda.)

Passo 4

Estratégia para propagar incertezas (aula curta e prática):
  • Usamos a propagação por derivadas (método de primeira ordem): se H_B=f(x_1,x_2,\dots) e as incertezas padrão dos x_i são u_{x_i}, a variância combinada é
u_{H_B}^2=\sum_i\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\,u_{x_i}\right)^2,
assumindo entradas independentes.
  • Aqui é conveniente separar F=m g e Q=D(D-\sqrt{D^2-d^2}). Como H_B=C\cdot F/Q, uma forma útil é:
\left(\frac{u_{H_B}}{H_B}\right)^2=\left(\frac{u_F}{F}\right)^2+\left(\frac{u_Q}{Q}\right)^2,
onde u_F e u_Q são as incertezas padrão em F e Q.
  • Para u_F (produto m\cdot g) vale
\left(\frac{u_F}{F}\right)^2=\left(\frac{u_m}{m}\right)^2+\left(\frac{u_g}{g}\right)^2.
  • Para u_Q calculamos as derivadas parciais de Q em relação a D e d:
Q=D\bigl(D-S\bigr),\quad S=\sqrt{D^2-d^2}.
Derivadas:
\frac{\partial Q}{\partial D}=2D-S-\frac{D^2}{S}, \qquad \frac{\partial Q}{\partial d}=\frac{D d}{S}.
Então
u_Q=\sqrt{\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial D}\,u_D\Bigr)^2+\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial d}\,u_d\Bigr)^2 }.

Passo 5

Calcular as incertezas padrão dos dados (usando as assunções do Passo 2):
  • Para m: incerteza expandida 1\% e assumimos k=2 \Rightarrow incerteza padrão
u_m=\frac{0{,}01\cdot m}{2}=\frac{0{,}01\cdot 30}{2}=0{,}15\\ \text{kg}.
  • Para g: foi dado \pm0{,}02 com n>120. Tomamos esse valor como incerteza padrão:
u_g=0{,}02\\ \text{m/s}^2.
  • Para D: incerteza expandida 0{,}1\% e assumimos k=2:
u_D=\frac{0{,}001\cdot D}{2}=\frac{0{,}001\cdot1{,}000}{2}=0{,}0005\\ \text{mm}.
  • Para d: dado (0{,}270\pm0{,}006)\\ \text{mm} com n=3. Interpretando \pm0{,}006 como desvio-padrão amostral s, a incerteza padrão da média é
u_d=\frac{0{,}006}{\sqrt{3}}=0{,}003464\\ \text{mm}.
(Se em vez disso \pm0{,}006 fosse incerteza expandida, teria que dividir por 2; mas a interpretação acima é a mais comum para n=3.)

Passo 6

Calcular u_F (incerteza da força F=m g):
\frac{u_m}{m}=\frac{0{,}15}{30}=0{,}0050\quad(0{,}50\%),
\frac{u_g}{g}=\frac{0{,}02}{9{,}78}=0{,}002045\quad(0{,}2045\%).
\frac{u_F}{F}=\sqrt{0{,}0050^2+0{,}002045^2}=0{,}005402\quad(0{,}5402\%).
Portanto u_F=F\cdot0{,}005402=293{,}4\cdot0{,}005402=1{,}586\\ \text{N} (incerteza padrão da força).

Passo 7

Calcular u_Q pela fórmula com derivadas (vamos usar os valores numéricos já calculados):
Recordando S=0{,}962892, D=1{,}000, d=0{,}270.
Derivadas:
\frac{\partial Q}{\partial D}=2D-S-\frac{D^2}{S}=2-0{,}962892-\frac{1}{0{,}962892}=-0{,}001412\\ \text{(mm)}.
\frac{\partial Q}{\partial d}=\frac{D d}{S}=\frac{1{,}000\cdot0{,}270}{0{,}962892}=0{,}28052\\ \text{(mm)}.
Agora as contribuições:
\frac{\partial Q}{\partial D}\,u_D=-0{,}001412\cdot0{,}0005=-7{,}06\times10^{-7}\\ \text{mm}^2,
\frac{\partial Q}{\partial d}\,u_d=0{,}28052\cdot0{,}003464=0{,}0009719\\ \text{mm}^2.
Como a primeira contribuição é muito menor que a segunda, temos
u_Q=\sqrt{(-7{,}06\times10^{-7})^2+(0{,}0009719)^2}\approx0{,}0009719\\ \text{mm}^2.
Relativamente,
\frac{u_Q}{Q}=\frac{0{,}0009719}{0{,}037108}=0{,}02619\quad(2{,}619\%).

Passo 8

Combinar incertezas para H_B:
Usando
\left(\frac{u_{H_B}}{H_B}\right)^2=\left(\frac{u_F}{F}\right)^2+\left(\frac{u_Q}{Q}\right)^2,
substituindo valores:
\left(\frac{u_{H_B}}{H_B}\right)=\sqrt{0{,}005402^2+0{,}02619^2}=0{,}02674\quad(2{,}674\%).
Assim a incerteza padrão absoluta é
u_{H_B}=H_B\cdot0{,}02674=513{,}66\cdot0{,}02674=13{,}74\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2.
A incerteza expandida com k=2 (prática comum, intervalo de confiança aproximado 95%) é
U_{H_B}=2\cdot u_{H_B}=27{,}5\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2.
Arredondando para números redondos condizentes com a incerteza: H_B=(514\pm28)\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2 (incerteza expandida k=2).

Passo 9

Discussão das contribuições e sugestões práticas para reduzir a incerteza:
  • Principais contribuições: o termo dominante na incerteza vem de d (medida do diâmetro da impressão). Isso ficou claro porque \frac{u_Q}{Q} (≈2{,}62%) domina em relação a \frac{u_F}{F} (≈0{,}54%). Em particular, a sensibilidade geométrica da expressão faz com que pequenas incertezas em d se traduzam em incertezas relativamente grandes em Q (e portanto em H_B).
  • Consequências práticas:
    • Aumentar o número de medições de d reduzirá a incerteza padrão da média ( u_d\propto1/\sqrt{n}). Como aqui n=3, dobrar ou triplicar o número de medidas de d já reduziria sensivelmente u_d e, consequentemente, u_{H_B}.
    • Melhorar a resolução/precisão do microscópio (menos erro sistemático e menor desvio padrão nas medidas de d) tem grande impacto.
    • A incerteza de D é irrelevante aqui (contribuição desprezível), então não vale a pena investir muito em reduzir u_D.
    • A incerteza de m e g também são pouco influentes; a massa já tem boa precisão (incerteza padrão 0{,}5%), então calibrar melhor a balança só traria ganhos pequenos.
  • Observação sobre as suposições: se alguma das incertezas fornecidas (por exemplo a de d) fosse uma incerteza expandida em vez de desvio-padrão, os números mudariam; por isso em relatórios reais sempre documente se os valores são desvios padrão ou incertezas expandidas e qual k foi usado.

Resposta

H_B=(514\pm28)\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2 (incerteza expandida, k=2).

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