A meia-vida de determinado nuclídeo é de 140 dias. Em determinado momento sua atividade é
. Determine em quanto tempo sua atividade será
, sabendo que
.
Passo 1
Beleza, então a gente tem um exercício sobre decadência radioativa. A pergunta diz que a meia-vida de um certo nuclídeo é de 140 dias e que, em um certo momento, a atividade dele é
. A gente precisa descobrir quanto tempo leva para essa atividade diminuir para
. Para resolver isso, vamos precisar entender como a atividade diminui ao longo do tempo e usar a fórmula da meia-vida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é meia-vida. É o tempo que leva para metade das partículas de um material radioativo decaírem. A fórmula que relaciona a atividade (
) com o tempo (
) e a constante de decaimento (
) é:
Aqui,
é a atividade inicial e
é a constante que determina a taxa de decaimento.
Passo 3
Sabemos que a meia-vida (
) está relacionada com a constante de decaimento pela fórmula:
Como a meia-vida é de 140 dias, substituindo na fórmula:
Passo 4
Agora, a gente quer encontrar o tempo (
) em que a atividade seja
. Vamos usar a fórmula da atividade:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Para resolver essa equação para
, vamos aplicar o logaritmo natural (ln) em ambos os lados:
Sabemos que
, então:
Cancelando os sinais negativos:
Passo 6
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Substituindo
pela expressão que encontramos no Passo 3:
Passo 7
Sabemos que
, então substituindo:
Resposta
O tempo necessário para que a atividade seja
é de 280 dias.