A meia-vida de determinado nuclídeo é de 140 dias. Em determinado momento sua atividade é R0. Determine em quanto tempo sua atividade será R0 / 4, sabendo que R=- dN / dt=gamma N0 e^-gamma t=gamma N=R0 e^-gamma t.

Passo 1

Beleza, então a gente tem um exercício sobre decadência radioativa. A pergunta diz que a meia-vida de um certo nuclídeo é de 140 dias e que, em um certo momento, a atividade dele é R0. A gente precisa descobrir quanto tempo leva para essa atividade diminuir para R0 / 4. Para resolver isso, vamos precisar entender como a atividade diminui ao longo do tempo e usar a fórmula da meia-vida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é meia-vida. É o tempo que leva para metade das partículas de um material radioativo decaírem. A fórmula que relaciona a atividade ( R) com o tempo ( t) e a constante de decaimento ( gamma) é:
R = R0 , e^-gamma t
Aqui, R0 é a atividade inicial e gamma é a constante que determina a taxa de decaimento.

Passo 3

Sabemos que a meia-vida ( t1/2) está relacionada com a constante de decaimento pela fórmula:
gamma = ln 2t1/2
Como a meia-vida é de 140 dias, substituindo na fórmula:
gamma = ln 2140 , dias

Passo 4

Agora, a gente quer encontrar o tempo ( t) em que a atividade seja R0 / 4. Vamos usar a fórmula da atividade:
R04 = R0 , e^-gamma t
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por R0:
14 = e^-gamma t

Passo 5

Para resolver essa equação para t, vamos aplicar o logaritmo natural (ln) em ambos os lados:
ln ( 14 ) = -gamma t
Sabemos que ln ( 14 ) = -ln 4, então:
-ln 4 = -gamma t
Cancelando os sinais negativos:
ln 4 = gamma t

Passo 6

Agora, isolamos t dividindo ambos os lados por gamma:
t = ln 4gamma
Substituindo gamma pela expressão que encontramos no Passo 3:
t = ln 4ln 2140 = ln 4 times 140ln 2

Passo 7

Sabemos que ln 4 = 2 ln 2, então substituindo:
t = 2 ln 2 times 140ln 2 = 2 times 140 = 280 , dias

Resposta

O tempo necessário para que a atividade seja R0 / 4 é de 280 dias.

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