Mostre que
é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de Riccati
e indica a solução particular
. O conteúdo aqui é a técnica de redução de ordem para Riccati: uma vez que conhecemos uma solução particular, fazemos a mudança
para reduzir a Riccati a uma equação linear em
, que podemos então resolver.
Passo 2
Primeiro, mostramos que
satisfaz a equação. Calculamos
e avaliamos o lado direito em
:
Como
e o lado direito também é
, concluímos que
é de fato uma solução.
Passo 3
Fazemos a substituição
Então
Por outro lado, no lado direito da Riccati:
Igualando
a esse resultado:
Passo 4
A equação
é trivial de integrar:
onde
é uma constante arbitrária.
Passo 5
Voltando à variável
, temos
Esse é o formato geral da solução da Riccati, contendo a constante
.
Resposta
A solução geral da equação
é
onde
é constante arbitrária, e verificamos que a solução particular
realmente satisfaz a equação.