Mostre que y_{1} é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
y^{\prime}=1+x^{2}-2 x y+y^{2}, y_{1}=x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Riccati
y' = 1 + x^2 - 2xy + y^2
e indica a solução particular y_1(x)=x. O conteúdo aqui é a técnica de redução de ordem para Riccati: uma vez que conhecemos uma solução particular, fazemos a mudança
y = y_1 + \frac{1}{v}
para reduzir a Riccati a uma equação linear em v, que podemos então resolver.

Passo 2

Primeiro, mostramos que y_1(x)=x satisfaz a equação. Calculamos
y_1' = \frac{d}{dx}(x) = 1
e avaliamos o lado direito em y=x:
1 + x^2 - 2x\cdot x + x^2 = 1 + x^2 - 2x^2 + x^2 = 1.
Como y_1'=1 e o lado direito também é 1, concluímos que y_1 é de fato uma solução.

Passo 3

Fazemos a substituição
y = x + \frac{1}{v(x)}.
Então
y' = 1 - \frac{v'}{v^2}.
Por outro lado, no lado direito da Riccati:
1 + x^2 - 2x\Bigl(x+\tfrac1v\Bigr) + \Bigl(x+\tfrac1v\Bigr)^{2} =1 + x^2 -2x^2 -\frac{2x}{v} + x^2 + \frac{2x}{v} + \frac{1}{v^2} =1 + \frac{1}{v^2}.
Igualando y' a esse resultado:
1 - \frac{v'}{v^2} = 1 + \frac{1}{v^2} \quad\Longrightarrow\quad -\,\frac{v'}{v^2} = \frac{1}{v^2} \quad\Longrightarrow\quad v' = -1.

Passo 4

A equação v' = -1 é trivial de integrar:
v(x) = -x + C,
onde C é uma constante arbitrária.

Passo 5

Voltando à variável y, temos
y(x) = x + \frac{1}{v(x)} = x + \frac{1}{C - x}.
Esse é o formato geral da solução da Riccati, contendo a constante C.

Resposta

A solução geral da equação
y' = 1 + x^2 -2xy + y^2
é
\boxed{y(x) = x + \frac{1}{C - x},}
onde C é constante arbitrária, e verificamos que a solução particular y_1(x)=x realmente satisfaz a equação.

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