Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
y^{\prime}-y=2 x e^{2 x}, y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y' - y = 2x e^{2x},\quad y(0)=1.
Este é um caso de equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar o fator integrante para encontrar a solução geral e depois impor a condição inicial.

Passo 2

Escrevemos a equação no formato
y' - y = 2x e^{2x}.
O coeficiente de y é -1, então o fator integrante é
\mu(x) = e^{\int -1\,dx} = e^{-x}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{-x}. Assim obtemos
e^{-x}y' - e^{-x}y = 2x e^{2x}e^{-x} = 2x e^{x}.
O lado esquerdo fica exatamente a derivada do produto e^{-x}y, isto é,
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}y\bigr) = 2x e^{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^{-x}y = \int 2x e^{x}\,dx.
Para calcular \displaystyle \int 2x e^{x}\,dx, usamos integração por partes:
seja u=2x e dv=e^{x}dx, então du=2dx e v=e^{x}.
Logo
\int 2x e^{x}\,dx = 2x e^{x} - \int 2e^{x}\,dx = 2x e^{x} - 2e^{x} + C.
Portanto
e^{-x}y = 2x e^{x} - 2e^{x} + C.

Passo 5

Multiplicando por e^{x}, obtemos a solução geral
y = 2x e^{2x} - 2e^{2x} + C e^{x}.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(0)=1:
y(0) = 2\cdot0\cdot e^{0} - 2e^{0} + C e^{0} = -2 + C = 1 \quad\Longrightarrow\quad C = 3.
Logo a solução particular é
y = 2x e^{2x} - 2e^{2x} + 3e^{x}.

Resposta

y(x) = 2x e^{2x} - 2e^{2x} + 3e^{x}.

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