A meia-vida T1 / 2 de uma amostra é o tempo em que metade dos átomos terá sofrido decaimento. Assim podemos escrever
N(t)=N02^t / T1 / 2
Mostre que a relação entre a meia-vida e a constante de decaimento é
ln 2=lambda T1 / 2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a relação entre a meia-vida T1/2 e a constante de decaimento lambda. A meia-vida é definida pelo fato de que, após tempo T1/2, a quantidade de átomos ativa cai à metade, e a expressão dada é
N(t)=N02^t/T1/2
O conteúdo envolvido é decaimento exponencial e propriedades de logaritmos, e vamos precisar reescrever a base 2 em termos da base e para comparar com a lei padrão de decaimento.

Passo 2

A lei geral do decaimento radioativo vem escrita em base e como
$$N(t)=N_0,e^{-\lambda t}.
N(t)=N0,e^-lambda t ã
N(t)=\frac{N_0}{2{t/T_{1/2}}}=N_0,2{-t/T_{1/2}}.
N(t)=N02^t/T1/2=N0,2^-t/T1/2
2{-t/T_{1/2}}=e{-(t/T_{1/2})\ln2}
2^x=e^xln2
N(t)=N_0,e^{-(t/T_{1/2})\ln2}.
2^-t/T1/2=e^-(t/T1/2)ln2
\lambda=\frac{\ln2}{T_{1/2}}.
$$

Passo 3

Basta agora multiplicar ambos os lados por T1/2 para obter a relação desejada:
lambda,T1/2=ln2

Resposta

ln2=lambda,T1/2

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