(1,0) Em meio aquoso, a capacidade tamponante máxima de uma solução tampão composta por um ácido fraco monoprótico (HB, com constante de acidez \mathrm{K}_{\mathrm{a}} ) e sua base conjugada ( B ) é atingida quando:
a) \mathrm{pH}=\mathrm{pK}_{\mathrm{a}}-1
b) \mathrm{pH}=\mathrm{pK}_{\mathrm{a}}+1
c) \mathrm{pH}=\mathrm{pK}_{a}
d) \mathrm{pH}=10^{-\mathrm{pKa}}

Passo 1

O enunciado pergunta: em meio aquoso, quando a capacidade tamponante máxima de uma solução tampão composta por um ácido fraco monoprótico HB (com constante de acidez \mathrm{K}_a) e sua base conjugada B é atingida?
Informações dadas: a solução é um tampão formado por HB e B e a constante de acidez do ácido é \mathrm{K}_a. O enunciado oferece quatro alternativas sobre o valor do \mathrm{pH} em que a capacidade tampão é máxima.

Passo 2

O que é capacidade tamponante (intuitivamente e por definição)?
  • Intuitivamente: a capacidade tamponante é a habilidade da solução em resistir a mudanças de \mathrm{pH} quando adicionamos pequena quantidade de ácido forte ou base forte. Quanto maior a capacidade, mais “difícil” é alterar o \mathrm{pH}.
  • Definição prática usada aqui: a capacidade tampão \beta é a quantidade de base forte (em mol/L) que devemos adicionar para provocar uma variação unitária de \mathrm{pH}. Matematicamente podemos definir
\beta=\frac{dC_{\text{base adicionada}}}{d(\mathrm{pH})}.
Unidade típica: mol·L{-1}·pH{-1}.

Passo 3

Relações de equilíbrio (fórmulas importantes que vamos usar).
Escrevendo a dissociação do ácido fraco:
HB \rightleftharpoons H^{+} + B^{-},
e a constante:
\mathrm{K}_a=\frac{[H^{+}][B^{-}]}{[HB]}.
Defina a concentração total de espécies conjugadas do tampão:
C=[HB]+[B^{-}].
Queremos expressar [B^{-}] e [HB] em função de C, \mathrm{K}_a e [H^{+}]. Usando a relação de equilíbrio e mass balance, obtemos (passo-a-passo):
[B^{-}]=\frac{C\,\mathrm{K}_a}{[H^{+}]+\mathrm{K}_a}, \qquad [HB]=\frac{C\,[H^{+}]}{[H^{+}]+\mathrm{K}_a}.
Explicação curta de como veio isso: a fração de B^{-} é proporcional a \mathrm{K}_a/([H^{+}]+\mathrm{K}_a) porque quanto maior \mathrm{K}_a relativa a [H^{+}], mais a forma ionizada prevalece; a soma das duas frações tem que dar C.

Passo 4

Relação entre adição de base forte e variação das concentrações.
Quando adicionamos uma pequena quantidade de base forte por litro, essa base consome H^{+} ou converte HB em B^{-}; efetivamente, para cada mol de base forte que adicionamos, a concentração de [B^{-}] aumenta (por mol/L) aproximadamente na mesma quantidade (para variações pequenas). Portanto, a capacidade tampão pode ser obtida como
\beta=\frac{d[B^{-}]}{d(\mathrm{pH})}.
Ou seja, calcular \beta passa por derivar [B^{-}] em função de \mathrm{pH}.

Passo 5

Calcular \beta a partir da expressão de [B^{-}].
Começamos com
[B^{-}]=\frac{C\,\mathrm{K}_a}{[H^{+}]+\mathrm{K}_a}.
Usamos a regra da cadeia para derivar em relação a \mathrm{pH}. Primeiro note que \mathrm{pH}=-\log_{10}[H^{+}], logo
\frac{d[H^{+}]}{d(\mathrm{pH})}=-\ln(10)\,[H^{+}]=-2{,}303\,[H^{+}].
Agora derivamos [B^{-}] em relação a [H^{+}]:
\frac{d[B^{-}]}{d[H^{+}]}=C\,\mathrm{K}_a\cdot\frac{d}{d[H^{+}]}\left(\frac{1}{[H^{+}]+\mathrm{K}_a}\right) = -\frac{C\,\mathrm{K}_a}{([H^{+}]+\mathrm{K}_a)^2}.
Aplicando a cadeia:
\beta=\frac{d[B^{-}]}{d(\mathrm{pH})}=\frac{d[B^{-}]}{d[H^{+}]}\cdot\frac{d[H^{+}]}{d(\mathrm{pH})} = \left(-\frac{C\,\mathrm{K}_a}{([H^{+}]+\mathrm{K}_a)^2}\right)\cdot\left(-2{,}303\,[H^{+}]\right).
Simplificando os sinais negativos:
\beta=2{,}303\,C\cdot\frac{\mathrm{K}_a\,[H^{+}]}{([H^{+}]+\mathrm{K}_a)^2}.
Essa é a expressão clássica da capacidade tampão para um ácido fraco monoprótico + sua base conjugada. Observação: 2{,}303=\ln(10).

Passo 6

Encontrar quando \beta é máxima.
A constante multiplicativa 2{,}303\,C não afeta a posição do máximo, apenas a altura. Então analisamos a função
f([H^{+}])=\frac{\mathrm{K}_a\,[H^{+}]}{([H^{+}]+\mathrm{K}_a)^2}.
Para simplificar, introduzimos x=\dfrac{[H^{+}]}{\mathrm{K}_a}. Então
f(x)=\frac{x}{(1+x)^2}.
Derivando f em relação a x:
f'(x)=\frac{(1+x)^2 - x\cdot 2(1+x)}{(1+x)^4}=\frac{1-x}{(1+x)^3}.
Para máximo, igualamos f'(x)=0, obtendo 1-x=0\Rightarrow x=1. Portanto o máximo ocorre quando
\frac{[H^{+}]}{\mathrm{K}_a}=1 \quad\Rightarrow\quad [H^{+}]=\mathrm{K}_a.
Convertendo para \mathrm{pH}: como \mathrm{pH}=-\log_{10}[H^{+}] e \mathrm{pK}_a=-\log_{10}\mathrm{K}_a, temos imediatamente
\mathrm{pH}=\mathrm{pK}_a.
Comentário intuitivo: isso corresponde à situação em que [B^{-}]=[HB] (veja Henderson–Hasselbalch), ou seja, o tampão tem quantidades iguais das duas formas e pode neutralizar igualmente ácido ou base adicionados — por isso a capacidade é máxima.

Passo 7

Comparando com as alternativas dadas, a correta é a que diz \mathrm{pH}=\mathrm{pK}_a.

Resposta

c) \mathrm{pH}=\mathrm{pK}_a

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