Em um meio ( z>0 ) o campo magnético transmitido é identificado como
\vec{H}_{t}(z, t)=12 \cos \left(\omega t-\beta_{2} z\right) \vec{a}_{y} \quad \mu A / m
Determine a função instantânea do campo elétrico incidente e a densidade de potência média refletida. Considere o meio z>0 com permissividade relativa \varepsilon_{r_{2}}=16 e o meio do campo incidente ( z<0 ) o espaço livre.
(Gabarito: \vec{E}_{i}(z, t)=0,9 \pi \cos \left(\omega t-\beta_{1} z\right) \vec{a}_{x} m V / m, P=0,76\left(-\vec{a}_{z}\right) n W / m^{2} )

Passo 1

Resumindo o enunciado: em z>0 (meio 2, \varepsilon_{r2}=16, \mu_{r2}=1) temos o campo magnético transicionado
\vec H_t(z,t)=H_{t0}\cos(\omega t - \beta_2 z)\,\vec a_y
com H_{t0}=12\times10^{-3}\,\mathrm A/m. O meio 1 z<0 é o espaço livre \varepsilon_{r1}=1, \mu_{r1}=1.
Precisamos achar a função instantânea do campo elétrico incidente \vec E_i(z,t) e a densidade de potência média refletida \vec P_r. Vamos usar:
  1. Impedâncias características \eta_1 e \eta_2.
  2. Coeficientes de reflexão \Gamma e transmissão de H.
  3. Relação E_i=\eta_1\,H_i.
  4. Potência média S_i=\tfrac12\,E_{i0}^2/\eta_1 e P_r=|\Gamma|^2\,S_i.

Passo 2

Calculemos as impedâncias características dos dois meios. No espaço livre
\eta_1=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}=120\pi\\ \Omega,
e no dielétrico \varepsilon_{r2}=16
\eta_2=\frac{\eta_1}{\sqrt{\varepsilon_{r2}}} =\frac{120\pi}{4}=30\pi\\ \Omega.

Passo 3

Para incidência normal, o coeficiente de transmissão de H do meio 1 para o meio 2 é
t_H=\frac{2\,\eta_1}{\eta_1+\eta_2} =\frac{2\,(120\pi)}{120\pi+30\pi} =\frac{240\pi}{150\pi} =\frac{8}{5}.
Como \vec H_t=t_H\,\vec H_i, a amplitude do campo incidente é
H_{i0} =\frac{H_{t0}}{t_H} =H_{t0}\,\frac{5}{8} =12\times10^{-3}\cdot\frac{5}{8} =7{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm A/m.

Passo 4

O campo elétrico incidente satisfaz \vec E_i=\eta_1\,\vec H_i e propaga-se em +z com \beta_1=k_1=\omega\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}. Logo
E_{i0} =\eta_1\,H_{i0} =120\pi\cdot7{,}5\times10^{-3} =0{,}9\pi\\ \mathrm V/m,
e
\vec E_i(z,t) =E_{i0}\,\cos\bigl(\omega t-\beta_1 z\bigr)\,\vec a_x =0{,}9\pi\cos\bigl(\omega t-\beta_1 z\bigr)\,\vec a_x\\ \mathrm V/m.

Passo 5

O coeficiente de reflexão em campo magnético (e também em E) é
\Gamma=\frac{\eta_2-\eta_1}{\eta_2+\eta_1} =\frac{30\pi-120\pi}{30\pi+120\pi} =-\frac{90\pi}{150\pi} =-0{,}6.
A potência média incidente (módulo) é
S_i =\frac{1}{2}\,\frac{E_{i0}^2}{\eta_1} =\frac{1}{2}\,\frac{(0{,}9\pi)^2}{120\pi} \quad\bigl[\mathrm W/m^2\bigr].
A densidade média refletida (vetorial) é apontada para -z e vale
\vec P_r =-|\Gamma|^2\,S_i\,\vec a_z =-0{,}6^2\;\frac12\,\frac{(0{,}9\pi)^2}{120\pi}\,\vec a_z \approx0{,}76\times10^{-9}\;(-\vec a_z)\;\mathrm W/m^2 =0{,}76\,(-\vec a_z)\;\mathrm nW/m^2.

Resposta

\displaystyle \vec E_i(z,t)=0,9\pi\cos\!\bigl(\omega t-\beta_1 z\bigr)\,\vec a_x\\ \mathrm V/m \displaystyle \vec P_r=0,76\,(-\vec a_z)\\ \mathrm{nW/m^2}

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