Uma onda plana uniforme se propagando no ar possui sua função instantânea de campo elétrico E(z, t)=E_{0} \cos \left(10^{10} t-\beta z\right) \vec{a}_{x}. Essa onda incide normalmente em uma superfície de cobre em z=0. Qual percentual de densidade de potência transmitida dentro do cobre? (Gabarito: \% P=0,01 \% )

Passo 1

O enunciado diz que uma onda plana uniforme em ar
E(z,t)=E_0\cos\bigl(10^{10}t-\beta z\bigr)\,\vec a_x
incide normalmente sobre cobre em z=0. Queremos o percentual da densidade de potência que é transmitida para dentro do cobre. Para isso vamos usar a teoria de reflexão e transmissão em incidência normal, que envolve as impedâncias características dos meios e o coeficiente de reflexão \Gamma.

Passo 2

A impedância característica do ar (meio 1) é
\eta_1=\eta_0\approx 377\\ \Omega.

Passo 3

A impedância característica do cobre (meio 2) é
\eta_2=\sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma+j\omega\varepsilon}}\approx\sqrt{\frac{j\omega\mu_0}{\sigma}},
porque em condutores bons \sigma\gg\omega\varepsilon. Tomando \omega=10^{10}\,\mathrm{rad/s}, \mu_0=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H/m} e \sigma=5{,}8\times10^7\,\mathrm{S/m}, obtemos a magnitude
|\eta_2|=\sqrt{\frac{\omega\mu_0}{\sigma}} =\sqrt{\frac{10^{10}\cdot4\pi\times10^{-7}}{5{,}8\times10^7}} \approx0{,}0147\\ \Omega.

Passo 4

O coeficiente de reflexão em magnitude é
|\Gamma|=\biggl|\frac{\eta_2-\eta_1}{\eta_2+\eta_1}\biggr| \approx\frac{377-0{,}0147}{377+0{,}0147} \approx0{,}99992.

Passo 5

A fração de potência transmitida (coeficiente de transmissão em potência) é
T=1-|\Gamma|^2 \approx1-0{,}99992^2 \approx1,58\times10^{-4}.
Convertendo para percentual:
\%P=T\times100\%\approx0{,}0158\%\approx0{,}01\%.

Resposta

O percentual de densidade de potência transmitida dentro do cobre é aproximadamente 0{,}01\%.

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