O plano y=0 define a interface entre dois meios nos quais suas características são mostradas abaixo:
a. Meio 1(y<0): \varepsilon_{r_{1}}^{\prime}=1, \mu_{r_{1}}=\mu_{0}, \varepsilon_{r_{1}}^{\prime \prime}=0
b. Meio 2(y>0): \varepsilon_{r_{2}}^{\prime}=5, \mu_{r_{2}}=\mu_{0}, \varepsilon_{r_{2}}^{\prime \prime}=0
Se o campo elétrico no Meio 1 é definido por E(y, t)=150 \cos (\omega t-8 y) \mathrm{V} / \mathrm{m}, encontre (a) a frequência angular, (b) as ondas propagantes e contrapropagantes de campo magnético e (c) a relação entre as amplitudes das ondas propagantes e contrapropagantes de campo magnético. (Gabarito: (a) \omega=2,4 \times 10^{9} \mathrm{rad} / \mathrm{s}, (b) H^{+}(y, t)=0,4 \cos \left(2,4 \times 10^{9} t-8 y\right) \vec{a}_{x} A / m
H^{-}(y, t)=0,15 \cos \left(2,4 \times 10^{9} t+8 y\right) \vec{a}_{x} A / \mathrm{m}, (c) H^{+} / H^{-}=2,67 )

Passo 1

O enunciado descreve uma interface no plano y=0 entre:
– Meio 1 y<0: \varepsilon_{r1}'=1, \mu_{1}=\mu_{0}, sem perdas.
– Meio 2 y>0: \varepsilon_{r2}'=5, \mu_{2}=\mu_{0}, sem perdas.
No meio 1 é dado o campo elétrico
\mathbf E(y,t)=150\cos(\omega t-8y)\,\mathbf a_{z}\\ \text{V/m}.
Pede-se:
(a) a frequência angular \omega;
(b) os campos magnéticos incidente +y e refletido -y no meio 1;
(c) a razão entre suas amplitudes.

Passo 2

Em meio 1 temos \varepsilon_{1}=\varepsilon_{0}, \mu_{1}=\mu_{0}, logo a velocidade de fase é
c=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}}\approx3{,}0\times10^{8}\,\text{m/s}.
A relação de dispersão para onda plana dá
k=\omega\sqrt{\mu_{1}\varepsilon_{1}}=\frac{\omega}{c}\quad\Longrightarrow\quad \omega=k\,c.
Como k=8 rad/m,
\omega=8\cdot3{,}0\times10^{8}=2{,}4\times10^{9}\\ \text{rad/s}.

Passo 3

O campo magnético da onda incidente satisfaz
\mathbf H^{+}(y,t) =\frac{1}{\eta_{1}}\;\mathbf a_{k}\times\mathbf E^{+}(y,t),
onde \eta_{1}=\sqrt{\mu_{1}/\varepsilon_{1}}=\eta_{0}\approx377\\ \Omega e \mathbf a_{k}=\mathbf a_{y}.
Para \mathbf E^{+}=150\cos(\omega t-8y)\,\mathbf a_{z} e usando \mathbf a_{y}\times\mathbf a_{z}=-\mathbf a_{x} com o sinal convencional, obtém-se
\mathbf H^{+}(y,t) =0{,}4\cos\bigl(2{,}4\times10^{9}t-8y\bigr)\,\mathbf a_{x}\\ \text{A/m}.

Passo 4

No meio 2 a impedância é
\eta_{2} =\eta_{0}\sqrt{\frac{\mu_{2}}{\varepsilon_{2}}} =377\,\frac{1}{\sqrt{5}}\approx168{,}7\\ \Omega.
O coeficiente de reflexão para E é
\Gamma =\frac{\eta_{2}-\eta_{1}}{\eta_{2}+\eta_{1}} \approx\frac{168{,}7-377}{168{,}7+377} \approx-0{,}382,
logo a amplitude do campo elétrico refletido é |\Gamma|\times150\approx57{,}3 V/m.

Passo 5

O campo magnético refletido tem amplitude
H^{-}=\frac{57{,}3}{377}\approx0{,}15\\ \text{A/m},
propagando em -y, portanto
\mathbf H^{-}(y,t) =0{,}15\cos\bigl(2{,}4\times10^{9}t+8y\bigr)\,\mathbf a_{x}\\ \text{A/m}.

Passo 6

A razão entre amplitudes é
\frac{H^{+}}{H^{-}} =\frac{0{,}4}{0{,}15} \approx2{,}67.

Resposta

(a) \omega=2{,}4\times10^{9} rad/s
(b) \displaystyle \mathbf H^{+}(y,t)=0{,}4\cos\bigl(2{,}4\times10^{9}t-8y\bigr)\,\mathbf a_{x} A/m \displaystyle \mathbf H^{-}(y,t)=0{,}15\cos\bigl(2{,}4\times10^{9}t+8y\bigr)\,\mathbf a_{x} A/m
(c) \displaystyle \frac{H^{+}}{H^{-}}=2{,}67

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