Em um meio condutor
H=y^2 z ax+2(x+1) y z ay-(x+1) z^2 az A / m
Encontre J em (1,0,-3)

Passo 1

Beleza, olha só o que temos: um campo magnético no interior de um condutor
H(x,y,z)=y^2z,ax+2(x+1),y,z,ay-(x+1),z^2,az(A/m)
A pergunta é encontrar a densidade de corrente J no ponto (1,0,-3).
Conteúdo: magnetostática e a lei de Maxwell–Ampère em regime estacionário. Vamos usar que
J=nablatimesH
e calcular o rotacional por derivadas parciais.

Passo 2

Na magnetostática, a lei de Maxwell–Ampère diz
nablatimesH=J,
Ou seja, a densidade de corrente é justamente o rotacional de H.

Passo 3

Em coordenadas cartesianas a gente monta componente a componente:
(nablatimesH)x=partial Hzpartial y-partial Hypartial z,
(nablatimesH)y=partial Hxpartial z-partial Hzpartial x,
(nablatimesH)z=partial Hypartial x-partial Hxpartial y
Aqui Hx=y^2z, Hy=2(x+1)yz, Hz=-(x+1)z^2,.

Passo 4

Vamos às derivadas:
  1. ∂H_z/∂y = ∂[−(x+1)z²]/∂y = 0
  2. ∂H_y/∂z = ∂[2(x+1)yz]/∂z = 2(x+1)y
    (nablatimes H)x=0-2(x+1)y=-2(x+1)y.
  3. ∂H_x/∂z = ∂[y²z]/∂z = y²
  4. ∂H_z/∂x = ∂[−(x+1)z²]/∂x = −z²
    (nablatimes H)y=y²-(-z²)=y²+z²²²²².
  5. ∂H_y/∂x = ∂[2(x+1)yz]/∂x = 2yz
  6. ∂H_x/∂y = ∂[y²z]/∂y = 2yz
    (nablatimes H)z=2yz-2yz=0.

Passo 5

Agora é só avaliar em (x,y,z)=(1,0,-3):
  • (nablatimes H)x=-2(1+1)cdot0=0
  • (nablatimes H)y=0^2+(-3)^2=9
  • (nablatimes H)z=0

Resposta

J(1,0,-3)=0,ax+9,ay+0,az=9,ay(A/m^2)

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