Em um meio condutor
Encontre a corrente que passa através de
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede:
– Matéria: Magnetostática (equação de Maxwell que relaciona o campo magnetizante H com densidade de corrente J).
– O que temos:
H(x,y,z) = y² z aₓ + 2(x+1)y z a_y − (x+1) z² a_z (em A/m).
– O que queremos: a corrente total que atravessa a área plana y=1, com 0≤x≤1 e 0≤z≤1.
– Matéria: Magnetostática (equação de Maxwell que relaciona o campo magnetizante H com densidade de corrente J).
– O que temos:
H(x,y,z) = y² z aₓ + 2(x+1)y z a_y − (x+1) z² a_z (em A/m).
– O que queremos: a corrente total que atravessa a área plana y=1, com 0≤x≤1 e 0≤z≤1.
Para resolver, vamos precisar de duas coisas básicas:
- A relação J = ∇×H (curl de H nos dá a densidade de corrente).
- A corrente que passa por uma superfície S é I = ∬ₛ J·n dS (produto escalar da densidade de corrente com o vetor normal à superfície, integrado sobre a área).
Passo 2
Primeiro, calculamos o rotor (curl) de H para achar J. Em coordenadas cartesianas,
Vamos derivar termo a termo:
- H_x = y² z ⇒ ∂H_x/∂z = y²
- H_y = 2(x+1)yz ⇒ ∂H_y/∂z = 2(x+1)y
- H_z = −(x+1)z² ⇒ ∂H_z/∂y = 0 e ∂H_z/∂x = −z²
Logo:
Assim, a densidade de corrente é
Passo 3
O plano onde queremos a corrente é y=1 e o normal à superfície (no sentido positivo de y) é n = a_y.
Então o fluxo de J através dessa área é
Então o fluxo de J através dessa área é
Em y=1, J_y = 1² + z² = 1 + z².
Passo 4
Agora só resta integrar sobre x e z:
Repare que não depende de x, então
- Integramos em z:
∫₀¹(1+z²)dz = [z + z³/3]₀¹ = 1 + 1/3 = 4/3. - Depois em x, de 0 a 1, é só multiplicar por 1 (comprimento em x):
I = (4/3)·(1) = 4/3 A.
Resposta
A corrente total que atravessa a face y=1 no retângulo 0≤x≤1,0≤z≤1 é