Em um meio condutor
H=y^2 z ax+2(x+1) y z ay-(x+1) z^2 az A / m
Encontre a corrente que passa através de y=1,0 <= x <= 1,0 <= z <= 1

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede:
– Matéria: Magnetostática (equação de Maxwell que relaciona o campo magnetizante H com densidade de corrente J).
– O que temos:
H(x,y,z) = y² z aₓ + 2(x+1)y z a_y − (x+1) z² a_z (em A/m).
– O que queremos: a corrente total que atravessa a área plana y=1, com 0≤x≤1 e 0≤z≤1.
Para resolver, vamos precisar de duas coisas básicas:
  1. A relação J = ∇×H (curl de H nos dá a densidade de corrente).
  2. A corrente que passa por uma superfície S é I = ∬ₛ J·n dS (produto escalar da densidade de corrente com o vetor normal à superfície, integrado sobre a área).

Passo 2

Primeiro, calculamos o rotor (curl) de H para achar J. Em coordenadas cartesianas,
l(nablatimes Hr)x = partial Hzpartial y - partial Hypartial z, l(nablatimes Hr)y = partial Hxpartial z - partial Hzpartial x, l(nablatimes Hr)z = partial Hypartial x - partial Hxpartial y
Vamos derivar termo a termo:
  • H_x = y² z ⇒ ∂H_x/∂z = y²
  • H_y = 2(x+1)yz ⇒ ∂H_y/∂z = 2(x+1)y
  • H_z = −(x+1)z² ⇒ ∂H_z/∂y = 0 e ∂H_z/∂x = −z²
Logo:
(nablatimes H)x = 0 - 2(x+1)y = -2(x+1)y, (nablatimes H)y = y^2 - l(-z^2r) = y^2 + z^2, (nablatimes H)z = 2yz - 2yz = 0
Assim, a densidade de corrente é
J = nablatimes H = l[-2(x+1)y,;y^2+z^2,;0r]

Passo 3

O plano onde queremos a corrente é y=1 e o normal à superfície (no sentido positivo de y) é n = a_y.
Então o fluxo de J através dessa área é
I = integral duplaS Jcdot n ,dS = integral duplaS Jy,dS = integralx=0^1!integralz=0^1 (y^2 + z^2)|y=1,dx,dz
Em y=1, J_y = 1² + z² = 1 + z².

Passo 4

Agora só resta integrar sobre x e z:
I = integralx=0^1 integralz=0^1 (1+z^2),dz,dx
Repare que não depende de x, então
  1. Integramos em z:
    ∫₀¹(1+z²)dz = [z + z³/3]₀¹ = 1 + 1/3 = 4/3.
  2. Depois em x, de 0 a 1, é só multiplicar por 1 (comprimento em x):
    I = (4/3)·(1) = 4/3 A.

Resposta

A corrente total que atravessa a face y=1 no retângulo 0≤x≤1,0≤z≤1 é
boxedI = tfrac43 A

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