Em
, a taxa de contagem medida por um detector para uma fonte radioativa é de 4096 cps . Após 10s, esta taxa decai para 1024 cps .
Calcule os tempos de meia-vida
e de vida-média
desta substância radioativa.
Calcule os tempos de meia-vida
Passo 1
Vamos entender o que é pedido no exercício. Temos uma fonte radioativa cuja taxa de contagem inicial é de 4096 contagens por segundo (cps) no tempo
. Após 10 segundos, essa taxa decai para 1024 cps. Precisamos calcular o tempo de meia-vida (
) e o tempo de vida-média (
) dessa substância radioativa.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de decaimento radioativo, que descrevem como a quantidade de material radioativo diminui ao longo do tempo. As fórmulas principais que vamos precisar são:
-
Lei do decaimento exponencial:
onde:
-é a quantidade no tempo ,
-é a quantidade inicial,
-é a constante de decaimento. -
Tempo de meia-vida:
-
Tempo de vida-média:
Vamos passo a passo aplicar essas fórmulas para encontrar
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores que temos:
- No tempo inicial (
): cps - Após 10 segundos (
): cps
Agora, vamos usar a lei do decaimento exponencial para encontrar a constante de decaimento (
). A fórmula é:
Vamos substituir os valores que temos:
Passo 3
Para encontrar
, vamos isolar a exponencial:
Simplificando a fração:
Agora, para resolver para
, vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados:
Sabemos que
, então:
Podemos cancelar os sinais negativos:
Agora, isolamos
:
Passo 4
Vamos calcular o valor numérico de
:
Sabemos que
, então:
Então, a constante de decaimento é aproximadamente
.
Passo 5
Agora que temos
, podemos calcular o tempo de meia-vida (
) usando a fórmula:
Sabemos que
, então:
Calculando:
Passo 6
Para encontrar o tempo de vida-média (
), usamos a fórmula:
Com
:
Calculando:
Resposta
O tempo de meia-vida da substância radioativa é de aproximadamente 5 segundos e o tempo de vida-média é de aproximadamente 7,215 segundos.