Em t=0, a taxa de contagem medida por um detector para uma fonte radioativa é de 4096 cps . Após 10s, esta taxa decai para 1024 cps .
Calcule os tempos de meia-vida (t1 / 2) e de vida-média (tau) desta substância radioativa.

Passo 1

Vamos entender o que é pedido no exercício. Temos uma fonte radioativa cuja taxa de contagem inicial é de 4096 contagens por segundo (cps) no tempo t = 0. Após 10 segundos, essa taxa decai para 1024 cps. Precisamos calcular o tempo de meia-vida ( t1/2) e o tempo de vida-média ( tau) dessa substância radioativa.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de decaimento radioativo, que descrevem como a quantidade de material radioativo diminui ao longo do tempo. As fórmulas principais que vamos precisar são:
  1. Lei do decaimento exponencial:
    N(t) = N0 , e^-lambda t
    onde:
    - N(t) é a quantidade no tempo t,
    - N0 é a quantidade inicial,
    - lambda é a constante de decaimento.
  2. Tempo de meia-vida:
    t1/2 = ln 2lambda
  3. Tempo de vida-média:
    tau = 1lambda
Vamos passo a passo aplicar essas fórmulas para encontrar t1/2 e tau.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores que temos:
  • No tempo inicial ( t = 0): N0 = 4096 cps
  • Após 10 segundos ( t = 10,s): N(10) = 1024 cps
Agora, vamos usar a lei do decaimento exponencial para encontrar a constante de decaimento ( lambda). A fórmula é:
N(t) = N0 , e^-lambda t
Vamos substituir os valores que temos:
1024 = 4096 , e^-lambda times 10

Passo 3

Para encontrar lambda, vamos isolar a exponencial:
10244096 = e^-10lambda
Simplificando a fração:
10244096 = 14 = e^-10lambda
Agora, para resolver para lambda, vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados:
ln(14) = -10lambda
Sabemos que ln(14) = -ln 4, então:
-ln 4 = -10lambda
Podemos cancelar os sinais negativos:
ln 4 = 10lambda
Agora, isolamos lambda:
lambda = ln 410

Passo 4

Vamos calcular o valor numérico de lambda:
Sabemos que ln 4 approx 1,3863, então:
lambda = 1,386310 = 0,13863, s^-1
Então, a constante de decaimento é aproximadamente 0,13863, s^-1.

Passo 5

Agora que temos lambda, podemos calcular o tempo de meia-vida ( t1/2) usando a fórmula:
t1/2 = ln 2lambda
Sabemos que ln 2 approx 0,6931, então:
t1/2 = 0,69310,13863
Calculando:
t1/2 approx 5, segundos

Passo 6

Para encontrar o tempo de vida-média ( tau), usamos a fórmula:
tau = 1lambda
Com lambda approx 0,13863, s^-1:
tau = 10,13863
Calculando:
tau approx 7,215, segundos

Resposta

O tempo de meia-vida da substância radioativa é de aproximadamente 5 segundos e o tempo de vida-média é de aproximadamente 7,215 segundos.

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