Em
, a taxa de contagem medida por um detector para uma fonte radioativa é de 4096 cps . Após 10s, esta taxa decai para 1024 cps .
Calcule de modo exato (i.e., sem aproximações numéricas) a taxa de contagem do detector após 1 minuto.
Calcule de modo exato (i.e., sem aproximações numéricas) a taxa de contagem do detector após 1 minuto.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma fonte radioativa que, no tempo inicial $ t = 0 $, produz uma taxa de contagem de 4096 cps (contagens por segundo). Depois de 10 segundos, essa taxa cai para 1024 cps. A pergunta é: qual será a taxa de contagem do detector após 1 minuto (60 segundos)?
Para resolver isso, vamos usar o conceito de decadência radioativa, que descreve como a quantidade de material radioativo diminui ao longo do tempo. Precisaremos usar a fórmula da decadência exponencial para encontrar a taxa de contagem após 60 segundos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da decadência exponencial:
Aqui:
- $ N(t) $ é a taxa de contagem no tempo $ t $,
- $ N_0 $ é a taxa inicial de contagem,
- $ \lambda $ é a constante de decaimento,
- $ e $ é a base dos logaritmos naturais.
Passo 3
Sabemos que no tempo $ t = 0 $, a taxa de contagem é $ N_0 = 4096 $ cps. Depois de 10 segundos, a taxa de contagem é 1024 cps. Vamos usar esses valores para encontrar a constante de decaimento $ \lambda $.
Substituindo na fórmula:
Passo 4
Vamos resolver para $ \lambda $:
Primeiro, dividimos os dois lados por 4096:
Agora, aplicamos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados para eliminar a exponencial:
Sabemos que $ \ln\left(\frac{1}{4}\right) = -\ln(4) $, então:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Finalmente, isolamos $ \lambda $:
Passo 5
Agora que temos $ \lambda $, podemos encontrar a taxa de contagem após 60 segundos usando a mesma fórmula da decadência exponencial:
Substituindo $ \lambda = \frac{\ln(4)}{10} $:
Passo 6
Simplificando a expressão no expoente:
Então:
Lembrando que $ e^{\ln(a)} = a $, temos:
Portanto:
Passo 7
Calculando $ 4^{-6} $:
Então:
Substituindo de volta:
Resposta
A taxa de contagem do detector após 1 minuto é de 1 cps.