Em t=0, a taxa de contagem medida por um detector para uma fonte radioativa é de 4096 cps . Após 10s, esta taxa decai para 1024 cps .
Calcule de modo exato (i.e., sem aproximações numéricas) a taxa de contagem do detector após 1 minuto.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma fonte radioativa que, no tempo inicial $ t = 0 $, produz uma taxa de contagem de 4096 cps (contagens por segundo). Depois de 10 segundos, essa taxa cai para 1024 cps. A pergunta é: qual será a taxa de contagem do detector após 1 minuto (60 segundos)?
Para resolver isso, vamos usar o conceito de decadência radioativa, que descreve como a quantidade de material radioativo diminui ao longo do tempo. Precisaremos usar a fórmula da decadência exponencial para encontrar a taxa de contagem após 60 segundos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da decadência exponencial:
N(t) = N0 times e^-lambda t
Aqui:
  • $ N(t) $ é a taxa de contagem no tempo $ t $,
  • $ N_0 $ é a taxa inicial de contagem,
  • $ \lambda $ é a constante de decaimento,
  • $ e $ é a base dos logaritmos naturais.

Passo 3

Sabemos que no tempo $ t = 0 $, a taxa de contagem é $ N_0 = 4096 $ cps. Depois de 10 segundos, a taxa de contagem é 1024 cps. Vamos usar esses valores para encontrar a constante de decaimento $ \lambda $.
Substituindo na fórmula:
t = 0

Passo 4

Vamos resolver para $ \lambda $:
Primeiro, dividimos os dois lados por 4096:
lambda
10244096 = e^-lambda times 10
Agora, aplicamos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados para eliminar a exponencial:
14 = e^-10lambda
Sabemos que $ \ln\left(\frac{1}{4}\right) = -\ln(4) $, então:
ln(14) = -10lambda
Multiplicando ambos os lados por -1:
ln(14) = -ln(4)
Finalmente, isolamos $ \lambda $:
-ln(4) = -10lambda

Passo 5

Agora que temos $ \lambda $, podemos encontrar a taxa de contagem após 60 segundos usando a mesma fórmula da decadência exponencial:
lambda
Substituindo $ \lambda = \frac{\ln(4)}{10} $:
N(60) = 4096 times e^-lambda times 60

Passo 6

Simplificando a expressão no expoente:
-(ln(4)10) times 60 = -6ln(4)
Então:
N(60) = 4096 times e^-6ln(4)
Lembrando que $ e^{\ln(a)} = a $, temos:
e^ln(a) = a
Portanto:
e^-6ln(4) = (e^ln(4))^-6 = 4^-6

Passo 7

Calculando $ 4^{-6} $:
4^-6
Então:
4^6 = 4096 (pois 4 times 4 times 4 times 4 times 4 times 4 = 4096)
Substituindo de volta:
4^-6 = 14^6 = 14096

Resposta

A taxa de contagem do detector após 1 minuto é de 1 cps.

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