O potencial eletrostático de uma certa distribuição de cargas é conhecido e vale:
V(r)=q4 pi varepsilon0 e^-a rr,
Onde a é uma constante positiva e q possui dimensão de carga elétrica.
a) Calcule o campo elétrico em todo o espaço usando que E=-nabla V.
b) Encontre a distribuição de carga que gerou este potencial usando a Equação de Poisson.
c) Calcule a carga total desta distribuição e tente interpretar o resultado. Usando:
Q=integralsubstack todo espaço rho(r) d vo l ç

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata do potencial eletrostático gerado por uma distribuição de cargas. Precisamos calcular o campo elétrico a partir desse potencial, encontrar a distribuição de carga que o produziu usando a Equação de Poisson e, por fim, calcular a carga total dessa distribuição. Para isso, vamos usar conceitos de gradiente, derivadas e integrais em eletrostática.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo elétrico E a partir do potencial eletrostático V(r). A relação entre eles é dada por:
E = -nabla V
Como o potencial depende apenas da distância r (temos uma simetria esférica), podemos simplificar o cálculo do gradiente em coordenadas esféricas. O gradiente de V em coordenadas esféricas para uma função que depende só de r é:
nabla V = dVdr r
Então, o campo elétrico fica:
E = -dVdr r

Passo 3

Agora, vamos derivar o potencial V(r):
V(r) = q4 pi varepsilon0 e^-a rr
Derivando em relação a r:
dVdr = q4 pi varepsilon0 ( -a e^-a rr - e^-a rr^2 )
Simplificando:
dVdr = -q e^-a r4 pi varepsilon0 r ( a + 1r )

Passo 4

Substituindo a derivada no campo elétrico:
E = -( -q e^-a r4 pi varepsilon0 r ( a + 1r ) ) r = q e^-a r4 pi varepsilon0 r ( a + 1r ) r
Podemos também escrever isso como:
E(r) = q e^-a r4 pi varepsilon0 r^2 (1 + a r) r

Passo 5

Agora, vamos encontrar a distribuição de carga rho(r) que gerou esse potencial utilizando a Equação de Poisson:
nabla^2 V = -rhovarepsilon0
A Equação de Poisson relaciona o laplaciano do potencial com a densidade de carga.

Passo 6

Calculando o laplaciano de V(r) em coordenadas esféricas para uma função que depende só de r:
nabla^2 V = 1r^2 ddr ( r^2 dVdr )
Já calculamos dVdr na parte a). Vamos agora multiplicar por r^2 e derivar novamente:
r^2 dVdr = r^2 ( -q e^-a r4 pi varepsilon0 r ( a + 1r ) ) = -q e^-a r4 pi varepsilon0 (a r + 1)
Derivando em relação a r:
ddr ( -q e^-a r4 pi varepsilon0 (a r + 1) ) = -q4 pi varepsilon0 ( -a e^-a r (a r + 1) + e^-a r a ) = q a^2 e^-a r r4 pi varepsilon0
Então:
nabla^2 V = 1r^2 cdot q a^2 e^-a r r4 pi varepsilon0 = q a^2 e^-a r4 pi varepsilon0 r

Passo 7

Agora, usando a Equação de Poisson:
q a^2 e^-a r4 pi varepsilon0 r = -rho(r)varepsilon0
Isolando rho(r):
rho(r) = -q a^2 e^-a r4 pi r

Passo 8

Agora, vamos calcular a carga total Q dessa distribuição usando:
Q = integraltodo o espaço rho(r) , dV ç
Como a distribuição é esférica, vamos usar coordenadas esféricas para integrar:
Q = integral0^infty rho(r) cdot 4 pi r^2 , dr
Substituindo rho(r):
Q = integral0^infty ( -q a^2 e^-a r4 pi r ) cdot 4 pi r^2 , dr = -q a^2 integral0^infty r e^-a r , dr

Passo 9

Calculando a integral:
integral0^infty r e^-a r , dr
Sabemos que:
integral0^infty r e^-a r , dr = 1a^2
Então:
Q = -q a^2 cdot 1a^2 = -q

Resposta

a)
E(r) = q e^-a r4 pi varepsilon0 r^2 (1 + a r) r
b)
rho(r) = -q a^2 e^-a r4 pi r
c)
Q = -q

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