O potencial eletrostático de uma certa distribuição de cargas é conhecido e vale:
Onde
é uma constante positiva e
possui dimensão de carga elétrica.
a) Calcule o campo elétrico em todo o espaço usando que
.
b) Encontre a distribuição de carga que gerou este potencial usando a Equação de Poisson.
c) Calcule a carga total desta distribuição e tente interpretar o resultado. Usando:
a) Calcule o campo elétrico em todo o espaço usando que
b) Encontre a distribuição de carga que gerou este potencial usando a Equação de Poisson.
c) Calcule a carga total desta distribuição e tente interpretar o resultado. Usando:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata do potencial eletrostático gerado por uma distribuição de cargas. Precisamos calcular o campo elétrico a partir desse potencial, encontrar a distribuição de carga que o produziu usando a Equação de Poisson e, por fim, calcular a carga total dessa distribuição. Para isso, vamos usar conceitos de gradiente, derivadas e integrais em eletrostática.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o campo elétrico
a partir do potencial eletrostático
. A relação entre eles é dada por:
Como o potencial depende apenas da distância
(temos uma simetria esférica), podemos simplificar o cálculo do gradiente em coordenadas esféricas. O gradiente de
em coordenadas esféricas para uma função que depende só de
é:
Então, o campo elétrico fica:
Passo 3
Agora, vamos derivar o potencial
:
Derivando em relação a
:
Simplificando:
Passo 4
Substituindo a derivada no campo elétrico:
Podemos também escrever isso como:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a distribuição de carga
que gerou esse potencial utilizando a Equação de Poisson:
A Equação de Poisson relaciona o laplaciano do potencial com a densidade de carga.
Passo 6
Calculando o laplaciano de
em coordenadas esféricas para uma função que depende só de
:
Já calculamos
na parte a). Vamos agora multiplicar por
e derivar novamente:
Derivando em relação a
:
Então:
Passo 7
Agora, usando a Equação de Poisson:
Isolando
:
Passo 8
Agora, vamos calcular a carga total
dessa distribuição usando:
Como a distribuição é esférica, vamos usar coordenadas esféricas para integrar:
Substituindo
:
Passo 9
Calculando a integral:
Sabemos que:
Então:
Resposta
a)
b)
c)