Por meio de coordenadas polares, calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares. A questão pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com uma função exponencial que depende de
e
, e a região de integração é meio círculo de raio
no primeiro e segundo quadrantes. Vamos usar coordenadas polares para simplificar essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano é representado por
, onde
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo com o eixo positivo
.
As relações entre coordenadas cartesianas
e polares
são:
E o diferencial de área
em coordenadas polares vira:
Passo 3
Agora, vamos converter os limites de integração para coordenadas polares. A região de integração é definida por
de
a
e
de
a
, que corresponde a meio círculo superior de raio
.
Em coordenadas polares, isso se traduz em:
Então, a integral original fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Fazendo a substituição
, temos
ou
. Assim:
Passo 5
Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a
:
Resposta
A integral vale: