Por meio de coordenadas polares, calcule a integral.
integral-a^a integral0^raiza^2-x^2 e^-(x^2+y^2) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares. A questão pede para calcular:
integral-a^a integral0^raiza^2-x^2 e^-(x^2+y^2) , dy , dx
Aqui, estamos lidando com uma função exponencial que depende de x e y, e a região de integração é meio círculo de raio a no primeiro e segundo quadrantes. Vamos usar coordenadas polares para simplificar essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano é representado por (r, theta), onde r é a distância do ponto à origem e theta é o ângulo com o eixo positivo x.
As relações entre coordenadas cartesianas (x, y) e polares (r, theta) são:
x = r costheta y = r sintheta
E o diferencial de área dx , dy em coordenadas polares vira:
dx , dy = r , dr , dtheta

Passo 3

Agora, vamos converter os limites de integração para coordenadas polares. A região de integração é definida por x de -a a a e y de 0 a raiza^2-x^2, que corresponde a meio círculo superior de raio a.
Em coordenadas polares, isso se traduz em:
r: 0 a a theta: 0 a pi
Então, a integral original fica:
integral0^pi integral0^a e^-(r^2) cdot r , dr , dtheta

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a r:
integral0^a e^-r^2 cdot r , dr
Fazendo a substituição u = r^2, temos du = 2r , dr ou r , dr = du2. Assim:
12 integral0^a^2 e^-u , du = 12 [-e^-u]0^a^2 = 12 (1 - e^-a^2)

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a theta:
integral0^pi 12 (1 - e^-a^2) , dtheta = 12 (1 - e^-a^2) cdot pi

Resposta

A integral vale:
pi2 (1 - e^-a^2)

Exercícios relacionados