Para recuperar a enzima alfa-amilase produzida e secretada para o meio de cultivo por células recombinantes de Pichia pastoris, a 1a etapa do processo de purificação é a clarificação do caldo. Em uma centrífuga com raio de 50 mm para tubos de 1,5 \mathrm{~mL} o clarificado era obtido após 5 minutos de centrifugação a 8000 rpm . Para processar 1,2 \mathrm{~L} de caldo provenientes de um cultivo em biorreator de bancada, uma centrífuga com raio de 350 mm será utilizada.
a) Qual deve ser a velocidade (em rpm) para obter o clarificado com o mesmo tempo de centrifugação?
b) Se para o rotor utilizado a velocidade máxima de operação da centrífuga for de 2000 rpm , qual deve ser o tempo de centrifugação para obter o mesmo clarificado?

Passo 1

O enunciado dá um protocolo de centrifugação e pede duas coisas. Vou listar claramente o que foi fornecido e o que é pedido.
Dados fornecidos:
  • Raio do rotor usado inicialmente: \,r_1=50\\ \text{mm}.
  • Volume do tubo inicial (apenas contextual): 1,5\\ \text{mL} (não influencia no cálculo de velocidade/tempo).
  • Velocidade inicial: \,n_1=8000\\ \text{rpm}.
  • Tempo inicial para clarificar: \,t_1=5\\ \text{min}.
  • Novo rotor que será usado: \,r_2=350\\ \text{mm}.
  • Para a parte (b) há um limite: velocidade máxima do rotor novo \,n_{\max}=2000\\ \text{rpm}.
Perguntas:
a) Qual deve ser a velocidade \,n_2 (em rpm) no rotor de \,r_2 para obter o mesmo clarificado em \,t_1=5\\ \text{min}?
b) Se o rotor novo só pode trabalhar até \,2000\\ \text{rpm}, qual deve ser o tempo \,t_2 para obter o mesmo clarificado?

Passo 2

Princípio físico e relação que vamos usar (explicadinha, passo a passo).
  • A força que empurra as partículas para sedimentar na centrífuga é a aceleração centrífuga, dada por \,a=\omega^2 r, onde:
    • \,\omega é a velocidade angular (em rad/s),
    • \,r é o raio (distância do eixo ao fundo do tubo).
  • A velocidade de sedimentação no campo centrífugo é proporcional a essa aceleração, então a velocidade de separação satisfaz proporcionalidade do tipo \,v_s \propto \omega^2 r.
  • Se a distância que a partícula precisa percorrer para sedimentar é a mesma, o tempo de sedimentação \,t é inversamente proporcional à velocidade de sedimentação: t \propto \frac{1}{\omega^2 r}.
  • Em centrífugas costumamos trabalhar com rotações por minuto \,n (rpm). A relação entre \,\omega e \,n é \omega = \frac{2\pi n}{60},então \,\omega é proporcional a \,n. Consequentemente, quando comparamos dois casos, podemos substituir \,\omega por \,n nas proporções, porque o fator constante \,\frac{2\pi}{60} cancela nas razões.
Resumo prático que usaremos:
  • Para tempo igual entre duas condições: \omega_1^2 r_1=\omega_2^2 r_2e, logo (usando \omega\propto n), n_1^2 r_1 = n_2^2 r_2.
  • Para tempos diferentes com velocidades diferentes: \frac{t_2}{t_1}=\frac{\omega_1^2 r_1}{\omega_2^2 r_2}=\frac{n_1^2 r_1}{n_2^2 r_2}.

Passo 3

Resolução da parte (a): calcular \,n_2 tal que o tempo permaneça 5\\ \text{min}.
Partimos de
n_1^2 r_1 = n_2^2 r_2.
Isolando \,n_2:
n_2 = n_1 \sqrt{\frac{r_1}{r_2}}.
Agora substituímos os valores (uso das unidades em mm é consistente pois só aparece a razão de raios):
n_2 = 8000 \sqrt{\frac{50}{350}}.
Calcule passo a passo:
\frac{50}{350}=\frac{1}{7}\approx 0,142857.
\sqrt{\frac{1}{7}}=\frac{1}{\sqrt{7}}\approx 0,377964.
n_2 \approx 8000 \times 0,377964 \approx 3023,7\\ \text{rpm}.
Arredondando para uma velocidade prática de centrífuga:
n_2 \approx 3024\\ \text{rpm}.

Passo 4

Resolução da parte (b): velocidade máxima permitida \,n_2=2000\\ \text{rpm}; qual tempo \,t_2 dá o mesmo clarificado?
Usamos a relação de tempos:
\frac{t_2}{t_1}=\frac{n_1^2 r_1}{n_2^2 r_2}.
Substituindo \,n_1=8000, \,r_1=50, \,n_2=2000, \,r_2=350 e \,t_1=5\\ \text{min}:
Primeiro simplifico a razão de velocidades:
\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2 = \left(\frac{8000}{2000}\right)^2 = 4^2 = 16.
Então
\frac{t_2}{5} = 16 \cdot \frac{50}{350} = 16 \cdot \frac{1}{7} = \frac{16}{7}.
Portanto
t_2 = 5 \cdot \frac{16}{7} = \frac{80}{7}\\ \text{min} \approx 11{,}4286\\ \text{min}.
Convertendo para minutos e segundos para ficar mais intuitivo:
0{,}4286\\ \text{min} \times 60\\ \frac{\text{s}}{\text{min}} \approx 25{,}71\\ \text{s}.
Logo
t_2 \approx 11\\ \text{min}\\\ 26\\ \text{s}.

Passo 5

Notas práticas e revisão (tom encorajador):
  • A lógica usada é: para obter o mesmo efeito em menor raio usamos rpm maior (parte a), e se o equipamento não permite rpm suficiente, aumentamos o tempo (parte b).
  • Os cálculos foram feitos com as fórmulas físicas que relacionam aceleração centrífuga com \omega^2 r. Dá pra fazer tudo com razão de raios e rpm sem transformar em rad/s porque o fator constante cancela.
  • Resultado final arredondado para uso prático e também apresentado em minutos e segundos para a parte (b), que costuma ser mais útil no laboratório. Tá indo bem — já entendeu a ideia central: velocidade ao quadrado vezes raio é o que importa.

Resposta

a) \,n_2 \approx 3024\\ \text{rpm}\n
b) \,t_2 \approx 11{,}43\\ \text{min} (aprox. 11\\ \text{min}\\\ 26\\ \text{s})

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