Culturas de Streptomyces griseus crescidas na forma filamentosa e na forma de pellets foram filtradas usando um filtro de laboratório de área de
. A massa de sólidos por volume de filtrado foi de 0,25
para as células em pellets e de
para a cultura filamentosa. A viscosidade do filtrado era de
. Os seguintes resultados foram coletados:
Cultura em pellet:
Pressão (mmHg)
100
250
350
550
750
Volume filtrado (mL)
tempo (s)
10
22
12
9
7
5
15
52
26
20
14
12
20
90
49
36
28
22
25
144
75
60
43
34
30
200
110
88
63
51
35
285
149
119
84
70
40
368
193
154
110
90
45
452
240
195
140
113
50
301
238
175
141
Cultura filamentosa:
Pressão (mmHg)
100
250
350
550
750
Volume filtrado (mL)
tempo (s)
10
36
22
17
13
11
15
82
47
40
31
25
20
144
85
71
53
46
25
226
132
111
85
70
30
327
194
157
121
100
35
447
262
215
166
139
40
341
282
222
180
45
434
353
277
229
50
442
338
283
a) Determine a resistência específica da torta em função da pressão para cada cultura.
b) Determine a compressibilidade (
) para cada cultura.
| Pressão (mmHg) | |||||
| 100 | 250 | 350 | 550 | 750 | |
| Volume filtrado (mL) | tempo (s) | ||||
| 10 | 22 | 12 | 9 | 7 | 5 |
| 15 | 52 | 26 | 20 | 14 | 12 |
| 20 | 90 | 49 | 36 | 28 | 22 |
| 25 | 144 | 75 | 60 | 43 | 34 |
| 30 | 200 | 110 | 88 | 63 | 51 |
| 35 | 285 | 149 | 119 | 84 | 70 |
| 40 | 368 | 193 | 154 | 110 | 90 |
| 45 | 452 | 240 | 195 | 140 | 113 |
| 50 | 301 | 238 | 175 | 141 | |
| Pressão (mmHg) | |||||
| 100 | 250 | 350 | 550 | 750 | |
| Volume filtrado (mL) | tempo (s) | ||||
| 10 | 36 | 22 | 17 | 13 | 11 |
| 15 | 82 | 47 | 40 | 31 | 25 |
| 20 | 144 | 85 | 71 | 53 | 46 |
| 25 | 226 | 132 | 111 | 85 | 70 |
| 30 | 327 | 194 | 157 | 121 | 100 |
| 35 | 447 | 262 | 215 | 166 | 139 |
| 40 | 341 | 282 | 222 | 180 | |
| 45 | 434 | 353 | 277 | 229 | |
| 50 | 442 | 338 | 283 | ||
b) Determine a compressibilidade (
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar a resistência específica da torta em função da pressão para cada cultura (ou seja, calcular a resistência específica
em cada pressão medida). - Determinar a compressibilidade
para cada cultura (índice que relaciona com a pressão).
Informações dadas (vou listar cuidadosamente, com unidades e conversões que usarei):
- Área do filtro:
. - Viscosidade do filtrado:
. - Para a cultura em pellet: massa de sólidos por volume do filtrado
. - Para a cultura filamentosa:
. - Tabelas com tempos experimentais
(s) para volumes filtrados (mL) em diferentes pressões (mmHg) — vou usar esses valores para cada coluna de pressão.
Observações de conversão que vou aplicar:
-
, logo . -
, logo . -
. Assim em : para pellets ; para filamentosa . -
. Vou converter volumes (mL) para . -
. Vou converter pressões (mmHg) para Pa quando necessário.
Passo 2
Fórmula teórica que usamos (derivada de Darcy + balanço de massa para filtração por pressão constante):
Explicando cada termo:
-
é o tempo de filtração (s) para o volume . -
é o volume filtrado (m^3). -
é a viscosidade do filtrado (Pa·s). -
é a resistência específica da torta (m/kg) — queremos encontrá-la. -
é a massa de sólidos por volume de filtrado (kg/m^3). -
é a área do filtro (m^2). -
é a pressão aplicada (Pa). -
é a resistência do meio filtrante (m^{-1}), que aparece como intercepto; não é pedido aqui.
Interpretação prática: para uma dada pressão
, se plotarmos
versus
a relação é linear; a inclinação (slope) da reta é
Rearranjando para
:
Portanto, o procedimento prático é:
- Converter cada
para e calcular (unidade ). - Para cada pressão
, obter a inclinação da reta versus . (Aqui uso uma aproximação prática: calcular como a diferença usando a faixa de dados disponível — isto é suficiente e comum em exercícios de prova quando não se exige ajuste de mínimos quadrados.) - Calcular
com a fórmula acima. - Repetir para todas as pressões e para as duas culturas.
- Para a compressibilidade
, usar a relação empírica (observada experimentalmente):
ou, em forma logarítmica,
Assim
é a inclinação da reta em um gráfico
versus
. Para calcular
aqui, vou estimar pela inclinação entre os valores de
em
e
(abordagem prática e adequada para prova).
Passo 3
Conversões numéricas constantes que serão reutilizadas:
Também calculo a constante multiplicativa
que aparece no numerador da expressão para
.
Passo 4
Como exemplo didático, explico como calculei a inclinação
e em seguida
para uma coluna de dados (vou mostrar passo a passo para uma pressão de cada cultura; os demais valores seguem o mesmo procedimento e eu os listo resumidos).
Método para
(aproximação por diferenças):
- Escolho dois pontos bem separados na tabela (normalmente o primeiro volume e o maior volume disponível) para uma estimativa robusta da inclinação.
- Converto volumes
de mL para : . - Calculo
em . - Faço
com em .
Depois uso
Passo 5
Usarei como exemplo
. Dos dados (peguei o tempo para
e
da tabela para esta pressão):
-
, . -
, .
Calculo
:
Inclinação
:
Agora
.
Calculo :
Calculo
Finalmente,
Repito esse procedimento para cada pressão usando os pares de dados extremos disponíveis (para as pressões onde há dados até
usei
e
; quando
faltou, usei
ou
conforme a tabela). O mesmo método (mesmas fórmulas) e as constantes
apropriadas foram usadas. Os resultados para a cultura em pellet são (arredondados com 3 algarismos significativos):
Observação didática: os números crescem com a pressão — isto indica que a torta é compressível: aumentando
a torta fica mais densa e a resistência específica por massa cresce.
Passo 6
Faço um exemplo para
(dados:
e
):
Usando
(mesma constante
),
Repito este procedimento para cada pressão (usando pares extremos de volume disponibilizados na tabela). Os resultados para a cultura filamentosa (arredondados) são:
Observação didática: a resistência específica da cultura filamentosa é maior do que a dos pellets em todas as pressões — isto significa que, por massa de sólidos, a torta filamentosa oferece mais resistência ao fluxo (provavelmente devido a estrutura mais fibrosa e rede que segura mais água).
Passo 7
Usamos a relação
. Para estimar
faço uma aproximação usando os extremos
e
:
Para a cultura em pellet:
Numericamente:
Para a cultura filamentosa:
Interpretação: valores
entre 0 e 1 indicam torta compressível; a cultura filamentosa apresenta
maior que a dos pellets, ou seja, a resistência específica cresce mais fortemente com a pressão (é mais compressível/dinamicamente sensível à pressão).
Passo 8
- Procedimento para prova: calcule
para todos os pontos; estime a inclinação de versus (usando extremos se o tempo é curto); aplique . Em seguida, obtenha com fit log-log (ou entre extremos). - Os cálculos que apresentei usam esse método passo a passo e arredondei os resultados apresentando-os com 3 algarismos significativos, suficiente para a maioria das provas.
Resposta
Cultura em pellet — resistências específicas
(m/kg) em cada pressão:
Cultura filamentosa — resistências específicas
(m/kg) em cada pressão:
Compressibilidade
:
Cultura em pellet:
Cultura filamentosa:
Cultura em pellet:
Cultura filamentosa: