Culturas de Streptomyces griseus crescidas na forma filamentosa e na forma de pellets foram filtradas usando um filtro de laboratório de área de 1,8 \mathrm{~cm}^{2}. A massa de sólidos por volume de filtrado foi de 0,25 \mathrm{g} / \mathrm{mL} para as células em pellets e de 0,1 \mathrm{~g} / \mathrm{mL} para a cultura filamentosa. A viscosidade do filtrado era de 1,4 \mathrm{cP}. Os seguintes resultados foram coletados:
Cultura em pellet:
Pressão (mmHg)
100 250 350 550 750
Volume filtrado (mL) tempo (s)
10 22 12 9 7 5
15 52 26 20 14 12
20 90 49 36 28 22
25 144 75 60 43 34
30 200 110 88 63 51
35 285 149 119 84 70
40 368 193 154 110 90
45 452 240 195 140 113
50 301 238 175 141
Cultura filamentosa:
Pressão (mmHg)
100 250 350 550 750
Volume filtrado (mL) tempo (s)
10 36 22 17 13 11
15 82 47 40 31 25
20 144 85 71 53 46
25 226 132 111 85 70
30 327 194 157 121 100
35 447 262 215 166 139
40 341 282 222 180
45 434 353 277 229
50 442 338 283
a) Determine a resistência específica da torta em função da pressão para cada cultura.
b) Determine a compressibilidade ( s ) para cada cultura.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Determinar a resistência específica da torta em função da pressão para cada cultura (ou seja, calcular a resistência específica \alpha em cada pressão medida).
  2. Determinar a compressibilidade s para cada cultura (índice que relaciona \alpha com a pressão).
Informações dadas (vou listar cuidadosamente, com unidades e conversões que usarei):
  • Área do filtro: A = 1{,}8\\ \mathrm{cm}^2.
  • Viscosidade do filtrado: \mu = 1{,}4\\ \mathrm{cP}.
  • Para a cultura em pellet: massa de sólidos por volume do filtrado C_s = 0{,}25\\ \mathrm{g/mL}.
  • Para a cultura filamentosa: C_s = 0{,}10\\ \mathrm{g/mL}.
  • Tabelas com tempos experimentais t (s) para volumes filtrados V (mL) em diferentes pressões \Delta P (mmHg) — vou usar esses valores para cada coluna de pressão.
Observações de conversão que vou aplicar:
  • 1\\ \mathrm{cm}^2 = 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2, logo A = 1{,}8\\ \mathrm{cm}^2 = 1{,}8\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.
  • 1\\ \mathrm{cP} = 1\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}, logo \mu = 1{,}4\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • 1\\ \mathrm{g/mL} = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}. Assim C_s em \mathrm{kg/m^3}: para pellets C_s=0{,}25\times1000=250\\ \mathrm{kg/m^3}; para filamentosa C_s=0{,}10\times1000=100\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • 1\\ \mathrm{mL}=10^{-6}\\ \mathrm{m^3}. Vou converter volumes V (mL) para \mathrm{m^3}.
  • 1\\ \mathrm{mmHg}=133{,}322\\ \mathrm{Pa}. Vou converter pressões \Delta P (mmHg) para Pa quando necessário.

Passo 2

Fórmula teórica que usamos (derivada de Darcy + balanço de massa para filtração por pressão constante):
\frac{t}{V} = \frac{\mu\,\alpha\,C_s}{2A^2\Delta P}\,V + \frac{\mu R_m}{A^2\Delta P}
Explicando cada termo:
  • t é o tempo de filtração (s) para o volume V.
  • V é o volume filtrado (m^3).
  • \mu é a viscosidade do filtrado (Pa·s).
  • \alpha é a resistência específica da torta (m/kg) — queremos encontrá-la.
  • C_s é a massa de sólidos por volume de filtrado (kg/m^3).
  • A é a área do filtro (m^2).
  • \Delta P é a pressão aplicada (Pa).
  • R_m é a resistência do meio filtrante (m^{-1}), que aparece como intercepto; não é pedido aqui.
Interpretação prática: para uma dada pressão \Delta P, se plotarmos \dfrac{t}{V} versus V a relação é linear; a inclinação (slope) da reta é
m \equiv \text{slope} = \frac{\mu\,\alpha\,C_s}{2A^2\Delta P}.
Rearranjando para \alpha:
\alpha = \frac{2A^2\Delta P\,m}{\mu\,C_s}.
Portanto, o procedimento prático é:
  1. Converter cada V para \mathrm{m^3} e calcular \dfrac{t}{V} (unidade \mathrm{s/m^3}).
  2. Para cada pressão \Delta P, obter a inclinação m da reta \dfrac{t}{V} versus V. (Aqui uso uma aproximação prática: calcular m como a diferença \Delta (t/V)/\Delta V usando a faixa de dados disponível — isto é suficiente e comum em exercícios de prova quando não se exige ajuste de mínimos quadrados.)
  3. Calcular \alpha com a fórmula acima.
  4. Repetir para todas as pressões e para as duas culturas.
  5. Para a compressibilidade s, usar a relação empírica (observada experimentalmente):
\alpha \propto \Delta P^{\,s}
ou, em forma logarítmica,
\ln(\alpha) = s\,\ln(\Delta P) + \text{const.}
Assim s é a inclinação da reta em um gráfico \ln(\alpha) versus \ln(\Delta P). Para calcular s aqui, vou estimar pela inclinação entre os valores de \alpha em \Delta P=100\\ \mathrm{mmHg} e \Delta P=750\\ \mathrm{mmHg} (abordagem prática e adequada para prova).

Passo 3

Conversões numéricas constantes que serão reutilizadas:
A = 1{,}8\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2},\qquad A^2 = (1{,}8\times10^{-4})^2 = 3{,}24\times10^{-8}\\ \mathrm{m^4},
\mu = 1{,}4\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s},
1\\ \mathrm{mmHg}=133{,}322\\ \mathrm{Pa}.
Também calculo a constante multiplicativa K(\Delta P)=2A^2\Delta P que aparece no numerador da expressão para \alpha.

Passo 4

Como exemplo didático, explico como calculei a inclinação m e em seguida \alpha para uma coluna de dados (vou mostrar passo a passo para uma pressão de cada cultura; os demais valores seguem o mesmo procedimento e eu os listo resumidos).
Método para m (aproximação por diferenças):
  • Escolho dois pontos bem separados na tabela (normalmente o primeiro volume e o maior volume disponível) para uma estimativa robusta da inclinação.
  • Converto volumes V de mL para \mathrm{m^3}: V(\mathrm{m^3}) = V(\mathrm{mL})\times10^{-6}.
  • Calculo t/V em \mathrm{s/m^3}.
  • Faço m \approx \dfrac{(t/V)_{V_2} - (t/V)_{V_1}}{V_2 - V_1} com V em \mathrm{m^3}.
Depois uso
\alpha = \frac{2A^2\Delta P\,m}{\mu\,C_s}.

Passo 5

Usarei como exemplo \Delta P=100\\ \mathrm{mmHg}. Dos dados (peguei o tempo para V=10\\ \mathrm{mL} e V=45\\ \mathrm{mL} da tabela para esta pressão):
  • V_1=10\\ \mathrm{mL}=1{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3}, t_1=22\\ \mathrm{s}.
  • V_2=45\\ \mathrm{mL}=4{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3}, t_2=452\\ \mathrm{s}.
Calculo t/V:
\left(\frac{t}{V}\right)_1 = \frac{22}{1{,}0\times10^{-5}} = 2{,}2\times10^{6}\\ \mathrm{s/m^3},
\left(\frac{t}{V}\right)_2 = \frac{452}{4{,}5\times10^{-5}} \approx 1{,}004444\times10^{7}\\ \mathrm{s/m^3}.
Inclinação m:
m \approx \frac{1{,}004444\times10^{7} - 2{,}2\times10^{6}}{4{,}5\times10^{-5} - 1{,}0\times10^{-5}} \approx 2{,}241269\times10^{11}\\ \mathrm{s/m^6}.
Agora \Delta P = 100\\ \mathrm{mmHg}=100\times133{,}322 = 13{,}332{,}200\\ \mathrm{Pa}.
Calculo 2A^2\Delta P:
2A^2\Delta P = 2\times3{,}24\times10^{-8}\times13{,}332{,}200 \approx 8{,}63926\times10^{-4}.
Finalmente,
\alpha = \frac{(8{,}63926\times10^{-4})\times(2{,}241269\times10^{11})}{1{,}4\times10^{-3}\times250} \approx 5{,}53\times10^{8}\\ \mathrm{m/kg}.
Repito esse procedimento para cada pressão usando os pares de dados extremos disponíveis (para as pressões onde há dados até V=50\\ \mathrm{mL} usei V=10 e V=50; quando V=50 faltou, usei V=45 ou V=40 conforme a tabela). O mesmo método (mesmas fórmulas) e as constantes A,\mu,C_s apropriadas foram usadas. Os resultados para a cultura em pellet são (arredondados com 3 algarismos significativos):
  • \Delta P = 100\\ \mathrm{mmHg} \Rightarrow \alpha \approx 5{,}53\times10^{8}\\ \mathrm{m/kg}.
  • \Delta P = 250\\ \mathrm{mmHg} \Rightarrow \alpha \approx 7{,}44\times10^{8}\\ \mathrm{m/kg}.
  • \Delta P = 350\\ \mathrm{mmHg} \Rightarrow \alpha \approx 8{,}34\times10^{8}\\ \mathrm{m/kg}.
  • \Delta P = 550\\ \mathrm{mmHg} \Rightarrow \alpha \approx 9{,}50\times10^{8}\\ \mathrm{m/kg}.
  • \Delta P = 750\\ \mathrm{mmHg} \Rightarrow \alpha \approx 1{,}07\times10^{9}\\ \mathrm{m/kg}.
Observação didática: os números crescem com a pressão — isto indica que a torta é compressível: aumentando \Delta P a torta fica mais densa e a resistência específica por massa cresce.

Passo 6

Faço um exemplo para \Delta P=100\\ \mathrm{mmHg} (dados: V=10\\ \mathrm{mL},t=36\\ \mathrm{s} e V=35\\ \mathrm{mL},t=447\\ \mathrm{s}):
V_1=1{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3},\quad \left(\frac{t}{V}\right)_1 = \frac{36}{1{,}0\times10^{-5}} = 3{,}6\times10^{6}\\ \mathrm{s/m^3},
V_2=3{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3},\quad \left(\frac{t}{V}\right)_2 = \frac{447}{3{,}5\times10^{-5}} \approx 1{,}277143\times10^{7}\\ \mathrm{s/m^3},
m \approx \frac{1{,}277143\times10^{7}-3{,}6\times10^{6}}{(3{,}5-1{,}0)\times10^{-5}} \approx 3{,}668571\times10^{11}\\ \mathrm{s/m^6}.
Usando \Delta P=100\\ \mathrm{mmHg} (mesma constante 2A^2\Delta P \approx 8{,}63926\times10^{-4}),
\alpha = \frac{8{,}63926\times10^{-4}\times3{,}668571\times10^{11}}{1{,}4\times10^{-3}\times100} \approx 2{,}26\times10^{9}\\ \mathrm{m/kg}.
Repito este procedimento para cada pressão (usando pares extremos de volume disponibilizados na tabela). Os resultados para a cultura filamentosa (arredondados) são:
  • \Delta P = 100\\ \mathrm{mmHg} \Rightarrow \alpha \approx 2{,}26\times10^{9}\\ \mathrm{m/kg}.
  • \Delta P = 250\\ \mathrm{mmHg} \Rightarrow \alpha \approx 3{,}28\times10^{9}\\ \mathrm{m/kg}.
  • \Delta P = 350\\ \mathrm{mmHg} \Rightarrow \alpha \approx 3{,}86\times10^{9}\\ \mathrm{m/kg}.
  • \Delta P = 550\\ \mathrm{mmHg} \Rightarrow \alpha \approx 4{,}64\times10^{9}\\ \mathrm{m/kg}.
  • \Delta P = 750\\ \mathrm{mmHg} \Rightarrow \alpha \approx 5{,}28\times10^{9}\\ \mathrm{m/kg}.
Observação didática: a resistência específica da cultura filamentosa é maior do que a dos pellets em todas as pressões — isto significa que, por massa de sólidos, a torta filamentosa oferece mais resistência ao fluxo (provavelmente devido a estrutura mais fibrosa e rede que segura mais água).

Passo 7

Usamos a relação \ln(\alpha) = s\,\ln(\Delta P) + \text{const}. Para estimar s faço uma aproximação usando os extremos \Delta P=100\\ \mathrm{mmHg} e \Delta P=750\\ \mathrm{mmHg}:
Para a cultura em pellet:
s \approx \frac{\ln\!\bigl(\alpha(750)/\alpha(100)\bigr)}{\ln\!\bigl(750/100\bigr)} = \frac{\ln\!\bigl(1{,}07\times10^{9}/5{,}53\times10^{8}\bigr)}{\ln(7{,}5)}.
Numericamente:
\frac{\ln(1{,}941)}{\ln(7{,}5)} \approx \frac{0{,}663}{2{,}0149} \approx 0{,}33.
Para a cultura filamentosa:
s \approx \frac{\ln\!\bigl(5{,}28\times10^{9}/2{,}26\times10^{9}\bigr)}{\ln(7{,}5)} = \frac{\ln(2{,}33)}{\ln(7{,}5)} \approx \frac{0{,}846}{2{,}0149} \approx 0{,}42.
Interpretação: valores s entre 0 e 1 indicam torta compressível; a cultura filamentosa apresenta s maior que a dos pellets, ou seja, a resistência específica cresce mais fortemente com a pressão (é mais compressível/dinamicamente sensível à pressão).

Passo 8

  • Procedimento para prova: calcule t/V para todos os pontos; estime a inclinação m de t/V versus V (usando extremos se o tempo é curto); aplique \alpha=\dfrac{2A^2\Delta P\,m}{\mu C_s}. Em seguida, obtenha s com fit log-log (ou entre extremos).
  • Os cálculos que apresentei usam esse método passo a passo e arredondei os resultados apresentando-os com 3 algarismos significativos, suficiente para a maioria das provas.

Resposta

Cultura em pellet — resistências específicas \alpha (m/kg) em cada pressão:
\Delta P=100\\ \mathrm{mmHg}:\\ \alpha\approx 5{,}53\times10^{8}
\Delta P=250\\ \mathrm{mmHg}:\\ \alpha\approx 7{,}44\times10^{8}
\Delta P=350\\ \mathrm{mmHg}:\\ \alpha\approx 8{,}34\times10^{8}
\Delta P=550\\ \mathrm{mmHg}:\\ \alpha\approx 9{,}50\times10^{8}
\Delta P=750\\ \mathrm{mmHg}:\\ \alpha\approx 1{,}07\times10^{9}
Cultura filamentosa — resistências específicas \alpha (m/kg) em cada pressão:
\Delta P=100\\ \mathrm{mmHg}:\\ \alpha\approx 2{,}26\times10^{9}
\Delta P=250\\ \mathrm{mmHg}:\\ \alpha\approx 3{,}28\times10^{9}
\Delta P=350\\ \mathrm{mmHg}:\\ \alpha\approx 3{,}86\times10^{9}
\Delta P=550\\ \mathrm{mmHg}:\\ \alpha\approx 4{,}64\times10^{9}
\Delta P=750\\ \mathrm{mmHg}:\\ \alpha\approx 5{,}28\times10^{9}
Compressibilidade s:
Cultura em pellet: s\approx 0{,}33
Cultura filamentosa: s\approx 0{,}42

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