Por meio da interpretação geométrica da derivada, a qual diz que a derivada de uma função é a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente à função dada em um ponto específico desta, responda os exercícios abaixo:
Dada a função f(x)=\frac{x^{2}}{4}, determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto \mathrm{x}_{ \mathrm{o}}=-2.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\frac{x^{2}}{4} e pede a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto em que x_{0}=-2.
Informações importantes fornecidas:
  • A função: f(x)=\dfrac{x^{2}}{4}.
  • O ponto onde queremos a tangente: x_{0}=-2.
  • O que é pedido: a equação da reta tangente ao gráfico de f em x_{0}=-2.

Passo 2

Lembrete didático (o que é a derivada geometricamente e a definição que vamos usar): a derivada de f em um ponto a, denotada f'(a), é o coeficiente angular (inclinação) da reta tangente ao gráfico de f em x=a. Podemos calcular f'(a) pela definição limite:
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Aqui h é um pequeno incremento em x; a expressão dentro do limite é a inclinação da secante entre x=a e x=a+h. Quando h\to0 a secante vira a tangente.

Passo 3

Vamos aplicar a definição com a=x_{0}=-2. Primeiro calcule f(-2+h):
(-2+h)^{2}=4-4h+h^{2},
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f(-2+h)=\frac{(-2+h)^{2}}{4}=\frac{4-4h+h^{2}}{4}=1 - h + \frac{h^{2}}{4}.
Também temos f(-2)=\dfrac{(-2)^{2}}{4}=\dfrac{4}{4}=1.

Passo 4

Calcule o quociente diferenciado e o limite:
\frac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=\frac{\left(1 - h + \dfrac{h^{2}}{4}\right)-1}{h}=\frac{-h+\dfrac{h^{2}}{4}}{h}=-1+\frac{h}{4}.
Agora fazemos h\to0:
f'(-2)=\lim_{h\to0}\left(-1+\frac{h}{4}\right)=-1.
Portanto a inclinação da reta tangente em x_{0}=-2 é m=-1.

Passo 5

Já temos a inclinação m=-1 e o ponto de tangência (x_{0},f(x_{0}))=(-2,1). Usamos a forma ponto-inclinação da reta:
y-y_{0}=m(x-x_{0}).
Substituindo y_{0}=1, m=-1 e x_{0}=-2:
y-1=-1\bigl(x-(-2)\bigr)= -1(x+2).

Passo 6

Simplifique a equação para a forma mais comum (forma explícita y=mx+b):
y-1=-x-2\quad\Rightarrow\quad y=-x-2+1
y=-x-1.

Passo 7

Verificação rápida (método alternativo curto): usando a regra do poder, \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x, então \dfrac{d}{dx}\bigl(\dfrac{x^{2}}{4}\bigr)=\dfrac{2x}{4}=\dfrac{x}{2}. Avaliando em x=-2 \dfrac{-2}{2}=-1, mesmo resultado para a inclinação. Isso confirma nosso cálculo anterior.

Resposta

y=-x-1

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