Por meio da interpretação geométrica da derivada, a qual diz que a derivada de uma função é a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente à função dada em um ponto específico desta, responda os exercícios abaixo:
Dada a função
, determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Dada a função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto em que
.
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
- A função:
. - O ponto onde queremos a tangente:
. - O que é pedido: a equação da reta tangente ao gráfico de
em .
Passo 2
Lembrete didático (o que é a derivada geometricamente e a definição que vamos usar): a derivada de
em um ponto
, denotada
, é o coeficiente angular (inclinação) da reta tangente ao gráfico de
em
. Podemos calcular
pela definição limite:
Aqui
é um pequeno incremento em
; a expressão dentro do limite é a inclinação da secante entre
e
. Quando
a secante vira a tangente.
Passo 3
Vamos aplicar a definição com
. Primeiro calcule
:
logo
Também temos
.
Passo 4
Calcule o quociente diferenciado e o limite:
Agora fazemos
:
Portanto a inclinação da reta tangente em
é
.
Passo 5
Já temos a inclinação
e o ponto de tangência
. Usamos a forma ponto-inclinação da reta:
Substituindo
,
e
:
Passo 6
Simplifique a equação para a forma mais comum (forma explícita
):
Passo 7
Verificação rápida (método alternativo curto): usando a regra do poder,
, então
. Avaliando em
dá
, mesmo resultado para a inclinação. Isso confirma nosso cálculo anterior.