Por meio da interpretação geométrica da derivada, a qual diz que a derivada de uma função é a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente à função dada em um ponto específico desta, responda os exercícios abaixo:
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função:
, no ponto
;
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
.
Informações dadas:
O que é pedido:
- A equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto cuja abscissa é .
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): a derivada de uma função num ponto é a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente nesse ponto. Uma definição básica e útil para provas é a definição pelo limite:
O que cada símbolo significa:
-
é a derivada de no ponto (ou seja, a inclinação da tangente). -
é um pequeno incremento em ; fazemos para “chegar” no ponto. - O numerador
é a variação de quando varia de para . - A razão inteira dá a inclinação aproximada da secante; o limite quando
transforma a secante na tangente.
Passo 3
Aplicando a definição ao caso
no ponto
. Primeiro escrevo a expressão do quociente incremental:
Agora desenvolvo o binômio e simplifico passo a passo:
então
Fatorando
no numerador:
Agora tomo o limite quando
:
Portanto a inclinação da reta tangente no ponto
é
.
Passo 4
Calculo as coordenadas do ponto de tangência. A abscissa é
. A ordenada é
:
Logo o ponto de tangência é
.
Passo 5
Fórmula da reta dada um ponto e a inclinação (fórmula ponto-inclinação):
onde
é a inclinação e
é o ponto. Aqui
e
. Substituindo:
Agora simplifico para a forma explícita
:
portanto
Passo 6
Recapitulando como você resolve esse tipo de questão na prova:
- Use a definição da derivada por limite para obter
, a inclinação da tangente. - Encontre o ponto
. - Use a fórmula ponto-inclinação
e simplifique.
Se quiser acelerar (quando a função for uma potência simples), pode usar a regra de potênciaspara obter e depois avaliar em para achar .