Por meio da interpretação geométrica da derivada, a qual diz que a derivada de uma função é a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente à função dada em um ponto específico desta, responda os exercícios abaixo:
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função:
f(x)=x^{2}, no ponto x_{0}=1;

Passo 1

O enunciado pede para determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=x^{2} no ponto x_{0}=1.
Informações dadas:
f(x)=x^{2},\qquad x_{0}=1.
O que é pedido:
  • A equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto cuja abscissa é x_{0}=1.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): a derivada de uma função num ponto é a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente nesse ponto. Uma definição básica e útil para provas é a definição pelo limite:
f'(x_{0})=\lim_{h\to0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.
O que cada símbolo significa:
  • f'(x_{0}) é a derivada de f no ponto x_{0} (ou seja, a inclinação da tangente).
  • h é um pequeno incremento em x; fazemos h\to0 para “chegar” no ponto.
  • O numerador f(x_{0}+h)-f(x_{0}) é a variação de f quando x varia de x_{0} para x_{0}+h.
  • A razão inteira dá a inclinação aproximada da secante; o limite quando h\to0 transforma a secante na tangente.

Passo 3

Aplicando a definição ao caso f(x)=x^{2} no ponto x_{0}=1. Primeiro escrevo a expressão do quociente incremental:
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{(1+h)^{2}-1^{2}}{h}.
Agora desenvolvo o binômio e simplifico passo a passo:
(1+h)^{2}=1+2h+h^{2},
então
\frac{(1+h)^{2}-1}{h}=\frac{1+2h+h^{2}-1}{h}=\frac{2h+h^{2}}{h}.
Fatorando h no numerador:
\frac{2h+h^{2}}{h}=\frac{h(2+h)}{h}=2+h.
Agora tomo o limite quando h\to0:
f'(1)=\lim_{h\to0}(2+h)=2.
Portanto a inclinação da reta tangente no ponto x_{0}=1 é m=2.

Passo 4

Calculo as coordenadas do ponto de tangência. A abscissa é x_{0}=1. A ordenada é f(1):
f(1)=1^{2}=1.
Logo o ponto de tangência é (1,1).

Passo 5

Fórmula da reta dada um ponto e a inclinação (fórmula ponto-inclinação):
y-y_{0}=m(x-x_{0}),
onde m é a inclinação e (x_{0},y_{0}) é o ponto. Aqui m=2 e (x_{0},y_{0})=(1,1). Substituindo:
y-1=2(x-1).
Agora simplifico para a forma explícita y=\dots:
y-1=2x-2\quad\Rightarrow\quad y=2x-2+1,
portanto
y=2x-1.

Passo 6

Recapitulando como você resolve esse tipo de questão na prova:
  • Use a definição da derivada por limite para obter f'(x_{0}), a inclinação da tangente.
  • Encontre o ponto (x_{0},f(x_{0})).
  • Use a fórmula ponto-inclinação y-y_{0}=m(x-x_{0}) e simplifique.
    Se quiser acelerar (quando a função for uma potência simples), pode usar a regra de potências d(x^{n})/dx = n x^{n-1} para obter f'(x)=2x e depois avaliar em x=1 para achar m=2.

Resposta

y=2x-1

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