Por meio do método dos polinômios característicos, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. \boldsymbol{y}^{\prime \prime}+\mathbf{6 y}^{\prime}+\mathbf{5} \boldsymbol{y}=\mathbf{0}; y(0)=1, y^{\prime}(0)=0
Passo 1
O enunciado pede que você encontre a solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas. As informações fornecidas são:
y'' + 6y' + 5y = 0
y(0)=1,\quad y'(0)=0
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): suponha uma solução da forma \,y(t)=e^{rt}\, (por que isso? porque funções exponenciais permanecem proporcionais à sua derivada, o que é compatível com equações lineares com coeficientes constantes). Substituímos \,y(t)=e^{rt}\, na equação para obter uma condição sobre r. Vamos fazer a substituição explicitamente:
Como e^{rt}\neq 0 para todo t, podemos dividir por e^{rt} e obter a chamada equação característica:
r^{2} + 6r + 5 = 0.
Passo 3
Vamos resolver a equação característica \,r^{2}+6r+5=0. Podemos fatorar procurando dois números cuja soma seja 6 e cujo produto seja 5. Esses números são 1 e 5, portanto:
r^{2}+6r+5=(r+1)(r+5)=0.
Logo as raízes são
r_{1}=-1,\qquad r_{2}=-5.
Passo 4
Conclusão sobre a forma da solução (explicação didática): como a equação característica tem duas raízes reais e distintas r_{1} e r_{2}, as duas funções e^{r_{1}t} e e^{r_{2}t} são soluções independentes da equação diferencial. Pela linearidade e pelo princípio da superposição, a solução geral da equação homogênea é a combinação linear dessas soluções:
y(t)=C_{1} e^{r_{1} t} + C_{2} e^{r_{2} t}.
Passo 5
Aplicando as raízes encontradas, a solução geral fica:
y(t)=C_{1} e^{-t} + C_{2} e^{-5t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 6
Calcule a derivada y'(t) para poder usar a condição y'(0)=0. Derivando termo a termo (regra: \tfrac{d}{dt}e^{at}=a e^{at}):
y'(t) = -C_{1} e^{-t} - 5 C_{2} e^{-5t}.
Passo 7
Use as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
Primeira condição: y(0)=1. Como e^{0}=1,
y(0)=C_{1}+C_{2}=1. \tag{1}
Segunda condição: y'(0)=0. Avaliando a derivada em t=0,
y'(0) = -C_{1} -5 C_{2} = 0. \tag{2}
Agora resolvemos o sistema linear formado por (1) e (2). Da equação (1) temos C_{1}=1-C_{2}. Substituindo em (2):