Por meio do método dos polinômios característicos, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
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Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes sujeita a condições iniciais. Dados fornecidos:
Condições iniciais:
Aqui precisamos determinar a função
que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.
Passo 2
Vamos usar o método dos polinômios característicos (também conhecido como método da equação característica). A ideia é testar soluções do tipo:
porque para equações lineares com coeficientes constantes essa família gera soluções que se combinam para formar a solução geral. Substituindo
em
obtemos a equação polinomial em
(a equação característica):
Explico: se
então
e
. Colocando na ODE e dividindo por
(que nunca é zero) chega-se ao polinômio acima.
Passo 3
Resolvemos a equação quadrática
pela fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
Portanto as raízes são complexas conjugadas. Escrevemos:
Passo 4
Quando as raízes da equação característica são complexas conjugadas
, a solução geral real da ODE é
onde
e
são constantes reais a determinar pelas condições iniciais. Isto vem do fato de que
e
geram soluções cujas partes reais e imaginárias são
e
, que formam uma base real de soluções.
Aplicando nossos valores de
e
, a solução geral é
Passo 5
Agora usamos as condições iniciais para achar
e
.
Primeira condição: avalie . Como
e
e
, temos
Primeira condição: avalie
A condição
dá imediatamente
Passo 6
Segunda condição: precisamos de
. Para derivar
com
, usamos a regra do produto e as derivadas de seno/cosseno. Calculamos passo a passo:
Derivada do fator exponencial:
Derivada do parêntese:
Aplicando produto:
Fatorando
:
Passo 7
Avalie
. Usando
,
e
,
Como já achamos
, isto simplifica para
A condição
implica
(se preferir racionalizar,
, mas não é necessário)
Passo 8
Resumo das constantes encontradas:
A solução particular que satisfaz as condições iniciais é então obtida substituindo estas constantes na solução geral (a expressão final está na seção de resposta).