Por meio do método dos polinômios característicos, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
\boldsymbol{y}^{\prime \prime}+\boldsymbol{y}^{\prime}+2 \boldsymbol{y}=\mathbf{0}; y(0)=0, y^{\prime}(0)=5

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes sujeita a condições iniciais. Dados fornecidos:
y''+y'+2y=0
Condições iniciais:
y(0)=0,\qquad y'(0)=5.
Aqui precisamos determinar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.

Passo 2

Vamos usar o método dos polinômios característicos (também conhecido como método da equação característica). A ideia é testar soluções do tipo:
y(t)=e^{rt},
porque para equações lineares com coeficientes constantes essa família gera soluções que se combinam para formar a solução geral. Substituindo y=e^{rt} em y''+y'+2y=0 obtemos a equação polinomial em r (a equação característica):
r^2 + r + 2 = 0.
Explico: se y=e^{rt} então y'=r e^{rt} e y''=r^2 e^{rt}. Colocando na ODE e dividindo por e^{rt} (que nunca é zero) chega-se ao polinômio acima.

Passo 3

Resolvemos a equação quadrática
r^2 + r + 2 = 0
pela fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
r = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4\cdot 1\cdot 2}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1-8}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-7}}{2}.
Portanto as raízes são complexas conjugadas. Escrevemos:
r = \alpha \pm i\beta\quad\text{com}\quad \alpha = -\tfrac{1}{2},\\ \beta = \tfrac{\sqrt{7}}{2}.

Passo 4

Quando as raízes da equação característica são complexas conjugadas \alpha\pm i\beta, a solução geral real da ODE é
y(t)=e^{\alpha t}\big(C_1\cos(\beta t)+C_2\sin(\beta t)\big),
onde C_1 e C_2 são constantes reais a determinar pelas condições iniciais. Isto vem do fato de que e^{(\alpha+i\beta)t} e e^{(\alpha-i\beta)t} geram soluções cujas partes reais e imaginárias são e^{\alpha t}\cos(\beta t) e e^{\alpha t}\sin(\beta t), que formam uma base real de soluções.
Aplicando nossos valores de \alpha e \beta, a solução geral é
y(t)=e^{-t/2}\Big(C_1\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{7}}{2}t\big)+C_2\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{7}}{2}t\big)\Big).

Passo 5

Agora usamos as condições iniciais para achar C_1 e C_2.
Primeira condição: avalie y(0). Como \cos(0)=1 e \sin(0)=0 e e^{0}=1, temos
y(0)=C_1.
A condição y(0)=0 dá imediatamente
C_1=0.

Passo 6

Segunda condição: precisamos de y'(t). Para derivar
y(t)=e^{-t/2}\big(C_1\cos(\omega t)+C_2\sin(\omega t)\big)
com \omega=\tfrac{\sqrt{7}}{2}, usamos a regra do produto e as derivadas de seno/cosseno. Calculamos passo a passo:
Derivada do fator exponencial:
\frac{d}{dt}e^{-t/2}=-\tfrac{1}{2}e^{-t/2}.
Derivada do parêntese:
\frac{d}{dt}\big(C_1\cos(\omega t)+C_2\sin(\omega t)\big)=-C_1\omega\sin(\omega t)+C_2\omega\cos(\omega t).
Aplicando produto:
y'(t)= -\tfrac{1}{2}e^{-t/2}\big(C_1\cos(\omega t)+C_2\sin(\omega t)\big)+e^{-t/2}\big(-C_1\omega\sin(\omega t)+C_2\omega\cos(\omega t)\big).
Fatorando e^{-t/2}:
y'(t)=e^{-t/2}\Big[-\tfrac{1}{2}\big(C_1\cos(\omega t)+C_2\sin(\omega t)\big)-C_1\omega\sin(\omega t)+C_2\omega\cos(\omega t)\Big].

Passo 7

Avalie y'(0). Usando \cos(0)=1, \sin(0)=0 e e^{0}=1,
y'(0)=-\tfrac{1}{2}C_1 + C_2\omega.
Como já achamos C_1=0, isto simplifica para
y'(0)=C_2\omega.
A condição y'(0)=5 implica
C_2=\frac{5}{\omega}=\frac{5}{\tfrac{\sqrt{7}}{2}}=\frac{10}{\sqrt{7}}.
(se preferir racionalizar, C_2=\dfrac{10\sqrt{7}}{7}, mas não é necessário)

Passo 8

Resumo das constantes encontradas:
C_1=0,\qquad C_2=\frac{10}{\sqrt{7}}.
A solução particular que satisfaz as condições iniciais é então obtida substituindo estas constantes na solução geral (a expressão final está na seção de resposta).

Resposta

y(t)=\frac{10}{\sqrt{7}}\,e^{-t/2}\sin\!\left(\frac{\sqrt{7}}{2}t\right)

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