3^{\text {a }} )Explique o que é uma força conservativa, e como pode ser justificada a sua existência.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos o que é uma força conservativa e explicarmos por que ela existe. O conteúdo aqui é de mecânica clássica, em particular o conceito de trabalho de uma força e energia potencial.

Passo 2

Para começar, lembramos que o trabalho infinitesimal realizado por uma força \vec F ao deslocar uma partícula por um elemento de trajetória d\vec r é dado por
dW = \vec F \cdot d\vec r.
Se calculamos o trabalho total entre dois pontos A e B ao longo de uma curva qualquer \mathcal C, temos
W_{A\to B} = \int_{\mathcal C} \vec F \cdot d\vec r.
Dizemos que a força é conservativa quando esse trabalho não depende do caminho \mathcal C, mas apenas dos pontos finais A e B.

Passo 3

A independência de caminho implica que, se formos de volta ao ponto de partida descrevendo uma curva fechada, o trabalho total é zero:
\oint \vec F \cdot d\vec r = 0.
Dessa condição decorre matematicamente que existe uma função escalar V(\vec r), chamada de energia potencial, tal que
\vec F(\vec r) = -\nabla V(\vec r).
Ou seja, para forças conservativas podemos definir energia potencial e escrevê-las como o gradiente negativo dessa função.

Passo 4

A existência prática de forças conservativas é justificada por duas razões principais:
  1. Experimentalmente, constatamos que certas forças (como a gravitacional de corpos estacionários ou a eletrostática em meios sem resistência) têm trabalho que não varia conforme o caminho, mas só conforme a posição inicial e final.
  2. Em teoria, para sistemas cujas leis não mudam com o tempo (invariância temporal), a energia mecânica total E = T + V se conserva (teorema de Noether). Essa simetria garante que as interações deriváveis de um potencial V são exatamente as forças conservativas.

Resposta

Uma força é chamada de conservativa quando o trabalho que ela realiza entre dois pontos independe do caminho seguido e, consequentemente, o trabalho em um laço fechado é zero. Nessas condições existe uma energia potencial V(\vec r) tal que \vec F=-\nabla V. A justificativa para sua existência vem tanto de observações físicas (forças como a gravitacional e a eletrostática exibem independência de percurso) quanto de argumentos teóricos ligados à simetria temporal, que assegura a conservação da energia mecânica e a possibilidade de descrever a força por um potencial.

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