Em um meio não magnético uma onda EM se propaga com campo elétrico
E=50 cos (10^9 t-8 x) y+40 sin (10^9 t-8 x) z V / m
Determine:
a) constante dielétrica varepsilonr.
b) o campo magnético H correspondente.
c) a impedância intrínseca do meio.
d) a média temporal do vetor de Poynting.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma onda eletromagnética se propagando em um meio não magnético, e o campo elétrico dessa onda está dado pela equação:
E = 50 cos (10^9 t - 8 x) y + 40 sin (10^9 t - 8 x) z V/m
O que a gente precisa fazer aqui envolve conceitos de eletromagnetismo, como constante dielétrica, campo magnético correspondente, impedância intrínseca e o vetor de Poynting. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

a) Determinar a constante dielétrica varepsilonr.
Primeiro, precisamos entender que a constante dielétrica relativa ( varepsilonr) está relacionada à velocidade da onda no meio. A velocidade da luz no vácuo é c = 3 times 10^8 , m/s, e no meio, a velocidade v é dada por:
v = craizvarepsilonr mur
Como o meio é não magnético, mur = 1. Além disso, a velocidade v também está relacionada à frequência ( omega) e ao número de onda ( k) pela relação:
v = omegak
Vamos identificar omega e k na nossa equação do campo elétrico.
Na expressão $ \cos \left(10^{9} t - 8 x\right) $, podemos ver que:
  • cos (10^9 t - 8 x)
  • omega = 10^9 , rad/s
Agora, calculamos a velocidade:
k = 8 , rad/m
Agora, usando a relação da velocidade:
v = 10^98 = 1.25 times 10^8 , m/s
Resolvendo para 1.25 times 10^8 = 3 times 10^8raizvarepsilonr :
varepsilonr
Então,
raizvarepsilonr = 3 times 10^81.25 times 10^8 = 2.4

Passo 3

b) Determinar o campo magnético H correspondente.
Sabemos que, para uma onda eletromagnética, os campos elétrico ($ \boldsymbol{E} E é \boldsymbol{H} H ãâí \eta $):
eta
Primeiro, precisamos encontrar a direção de propagação H = 1eta k times E . Observando a expressão k, vemos que a onda está se propagando na direção positiva de 10^9 t - 8 x. Portanto, x.
Agora, calculamos o produto vetorial:
k = x
Aplicando isso ao nosso campo elétrico:
x times y = z x times z = -y

Passo 4

c) Determinar a impedância intrínseca do meio ( eta).
A impedância intrínseca do meio ( eta) está relacionada à constante dielétrica e à permeabilidade magnética do meio. Como o meio é não magnético, mur = 1, então:
eta = raizmuvarepsilon = raizmu0 murvarepsilon0 varepsilonr = raizmu0/varepsilon0raizvarepsilonr = eta0raizvarepsilonr
Onde eta0 = 377 , Omega é a impedância do vácuo.
Já calculamos varepsilonr = 5.76, então:
eta = 377raiz5.76 = 3772.4 approx 157 , Omega

Passo 5

d) Determinar a média temporal do vetor de Poynting.
O vetor de Poynting ( S) representa a potência transmitida por unidade de área e é dado por:
S = E times H
Para encontrar a média temporal ( lang<= S rang<=), usamos:
lang<= S rang<= = 12 Re ( E times H^* )
Mas, como nossos campos são reais e perfeitos senoidais, podemos simplificar para:
lang<= S rang<= = 12 E0 times H0
Onde $ \boldsymbol{E}_0 $ e $ \boldsymbol{H}_0 $ são as amplitudes dos campos elétrico e magnético, respectivamente.
Usando $ \eta = 157 , \Omega $, temos:
E0
Calculando as componentes:
H0
Agora, calculamos o produto vetorial $ \boldsymbol{E}_0 \times \boldsymbol{H}_0 $:
eta = 157 , Omega
Após calcular, obtemos a média temporal do vetor de Poynting.

Resposta

a) A constante dielétrica relativa é varepsilonr = 5.76.
b) O campo magnético correspondente é
H = 1157 [ 50 cos (10^9 t - 8 x) z - 40 sin (10^9 t - 8 x) y ] , A/m
c) A impedância intrínseca do meio é eta approx 157 , Omega.
d) A média temporal do vetor de Poynting é calculada como
lang<= S rang<= = 12 E0 times H0
onde E0 = 50 y + 40 z , V/m e H0 = 50157 y + 40157 z , A/m. O resultado final é:
lang<= S rang<= = 12 (E0 H0) x = 12 ( raiz50^2 + 40^2 times raiz50^2 + 40^2157 ) x approx 8.05 , W/m^2 x

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