Em um meio não magnético uma onda EM se propaga com campo elétrico
Determine:
a) constante dielétrica .
b) o campo magnético correspondente.
c) a impedância intrínseca do meio.
d) a média temporal do vetor de Poynting.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma onda eletromagnética se propagando em um meio não magnético, e o campo elétrico dessa onda está dado pela equação:
O que a gente precisa fazer aqui envolve conceitos de eletromagnetismo, como constante dielétrica, campo magnético correspondente, impedância intrínseca e o vetor de Poynting. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
a) Determinar a constante dielétrica .
Primeiro, precisamos entender que a constante dielétrica relativa () está relacionada à velocidade da onda no meio. A velocidade da luz no vácuo é , e no meio, a velocidade é dada por:
Como o meio é não magnético, . Além disso, a velocidade também está relacionada à frequência () e ao número de onda () pela relação:
Vamos identificar e na nossa equação do campo elétrico.
Na expressão $ \cos \left(10^{9} t - 8 x\right) $, podemos ver que:
Agora, calculamos a velocidade:
Agora, usando a relação da velocidade:
Resolvendo para :
Então,
Passo 3
b) Determinar o campo magnético correspondente.
Sabemos que, para uma onda eletromagnética, os campos elétrico ($ \boldsymbol{E} \boldsymbol{H} \eta $):
Primeiro, precisamos encontrar a direção de propagação . Observando a expressão , vemos que a onda está se propagando na direção positiva de . Portanto, .
Agora, calculamos o produto vetorial:
Aplicando isso ao nosso campo elétrico:
Passo 4
c) Determinar a impedância intrínseca do meio ().
A impedância intrínseca do meio () está relacionada à constante dielétrica e à permeabilidade magnética do meio. Como o meio é não magnético, , então:
Onde é a impedância do vácuo.
Já calculamos , então:
Passo 5
d) Determinar a média temporal do vetor de Poynting.
O vetor de Poynting () representa a potência transmitida por unidade de área e é dado por:
Para encontrar a média temporal (), usamos:
Mas, como nossos campos são reais e perfeitos senoidais, podemos simplificar para:
Onde $ \boldsymbol{E}_0 $ e $ \boldsymbol{H}_0 $ são as amplitudes dos campos elétrico e magnético, respectivamente.
Usando $ \eta = 157 , \Omega $, temos:
Calculando as componentes:
Agora, calculamos o produto vetorial $ \boldsymbol{E}_0 \times \boldsymbol{H}_0 $:
Após calcular, obtemos a média temporal do vetor de Poynting.
Resposta
a) A constante dielétrica relativa é varepsilonr = 5.76.
b) O campo magnético correspondente é
H = 1157 [ 50 cos (10^9 t - 8 x) z - 40 sin (10^9 t - 8 x) y ] , A/m
c) A impedância intrínseca do meio é eta approx 157 , Omega.
d) A média temporal do vetor de Poynting é calculada como
lang<= S rang<= = 12 E0 times H0
onde E0 = 50 y + 40 z , V/m e H0 = 50157 y + 40157 z , A/m. O resultado final é:
lang<= S rang<= = 12 (E0 H0) x = 12 ( raiz50^2 + 40^2 times raiz50^2 + 40^2157 ) x approx 8.05 , W/m^2 x