(Oscilações Forçadas) Vamos estudar o efeito produzido sobre o oscilador por uma força externa periódica. Para facilitar, considere o caso limite de um oscilador não-amortecido.
Encontre a equação de movimento
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre oscilações forçadas. A gente tem um oscilador sem amortecimento influenciado por uma força externa periódica. O que você precisa saber aqui são as equações do movimento e como resolver equações diferenciais simples. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos:
Aqui, $ m $ é a massa, $ k $ é a constante da mola, $ \ddot{x} $ é a aceleração, e $ F(t) $ é a força externa que está funcionando no oscilador.
Passo 3
Sabemos que a força externa é dada por:
Isso significa que a força está oscilando com uma frequência $ \omega_{1} $.
Passo 4
Agora, a equação completa fica:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, a gente precisa encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (sem a força externa) e uma solução particular que leva em conta a força externa.
Passo 5
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea:
Dividindo tudo por $ m $ para simplificar:
Aqui, $ \omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}} $ é a frequência natural do oscilador. A solução dessa equação homogênea é:
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que determinam a amplitude e a fase da oscilação natural.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ x_p(t) $ para a equação completa. Como a força externa é um cosseno, vamos tentar uma solução da forma:
Onde $ C $ é uma constante que vamos determinar.
Passo 7
Vamos calcular as derivadas de $ x_p(t) $:
Substituindo $ x_p(t) $ e $ \ddot{x}_p(t) $ na equação original:
Passo 8
Simplificando a equação:
Fatorando $ C \cos(\omega_{1} t) $:
Passo 9
Agora, igualamos os coeficientes de $ \cos(\omega_{1} t) $:
Resolvendo para $ C $:
Passo 10
Assim, a solução particular é:
Passo 11
Finalmente, a solução geral da equação de movimento é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A equação de movimento é:
Onde $ A $ e $ B $ são constantes determinadas pelas condições iniciais, e $ \omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}} $ é a frequência natural do oscilador.