(Oscilações Forçadas) Vamos estudar o efeito produzido sobre o oscilador por uma força externa periódica. Para facilitar, considere o caso limite de um oscilador não-amortecido.
m ddotx+k x=F(t) e F(t)=F0 cos (omega1 t)
Encontre a equação de movimento x(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre oscilações forçadas. A gente tem um oscilador sem amortecimento influenciado por uma força externa periódica. O que você precisa saber aqui são as equações do movimento e como resolver equações diferenciais simples. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos:
m ddotx + k x = F(t)
Aqui, $ m $ é a massa, $ k $ é a constante da mola, $ \ddot{x} $ é a aceleração, e $ F(t) $ é a força externa que está funcionando no oscilador.

Passo 3

Sabemos que a força externa é dada por:
F(t) = F0 cos (omega1 t)
Isso significa que a força está oscilando com uma frequência $ \omega_{1} $.

Passo 4

Agora, a equação completa fica:
m ddotx + k x = F0 cos (omega1 t)
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, a gente precisa encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (sem a força externa) e uma solução particular que leva em conta a força externa.

Passo 5

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea:
m ddotx + k x = 0
Dividindo tudo por $ m $ para simplificar:
m
Aqui, $ \omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}} $ é a frequência natural do oscilador. A solução dessa equação homogênea é:
ddotx + (km) x = 0
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que determinam a amplitude e a fase da oscilação natural.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular $ x_p(t) $ para a equação completa. Como a força externa é um cosseno, vamos tentar uma solução da forma:
xp(t)
Onde $ C $ é uma constante que vamos determinar.

Passo 7

Vamos calcular as derivadas de $ x_p(t) $:
xp(t)
Substituindo $ x_p(t) $ e $ \ddot{x}_p(t) $ na equação original:
ddotxp(t) = -C omega1^2 cos(omega1 t)

Passo 8

Simplificando a equação:
-C m omega1^2 cos(omega1 t) + C k cos(omega1 t) = F0 cos(omega1 t)
Fatorando $ C \cos(\omega_{1} t) $:
C cos(omega1 t)

Passo 9

Agora, igualamos os coeficientes de $ \cos(\omega_{1} t) $:
cos(omega1 t)
Resolvendo para $ C $:
C (k - m omega1^2) = F0

Passo 10

Assim, a solução particular é:
xp(t) = F0k - m omega1^2 cos(omega1 t)

Passo 11

Finalmente, a solução geral da equação de movimento é a soma da solução homogênea e da solução particular:
x(t) = xh(t) + xp(t) = A cos(omega0 t) + B sin(omega0 t) + F0k - m omega1^2 cos(omega1 t)

Resposta

A equação de movimento é:
x(t) = A cos(omega0 t) + B sin(omega0 t) + F0k - m omega1^2 cos(omega1 t)
Onde $ A $ e $ B $ são constantes determinadas pelas condições iniciais, e $ \omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}} $ é a frequência natural do oscilador.

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