Em um meio,
E=16 e^-0,05 x sin (2 times 10^8 t-2 x) z V / m
Encontre a) a constante de propagação; b) o comprimento de onda; c) a velocidade da onda; d) a profundidade de penetração pelicular; e) a média temporal do vetor de Poynting na orgiem e a 100 comprimentos de onda da origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma onda eletromagnética descrita pela expressão da componente elétrica $ \boldsymbol{E} $. O que precisamos fazer é encontrar várias características dessa onda, como a constante de propagação, comprimento de onda, velocidade da onda, profundidade de penetração e o vetor de Poynting médio em dois pontos diferentes. Para isso, vamos usar conceitos de ondas em meios materiais, incluindo equações de propagação, relação entre frequência e comprimento de onda, além de entender como calcular o vetor de Poynting. Vamos lá!

Passo 2

a) Encontrar a constante de propagação ($ \gamma $)
Primeiro, vamos entender o que é a constante de propagação. Em um meio, a onda eletromagnética pode ser representada por uma expressão que envolve um fator exponencial com $ \gamma $, que geralmente é complexo. Neste caso, a expressão da onda é:
gamma
Comparando com a forma geral da onda:
gamma
Podemos identificar que:
E = 16 e^-0,05 x sin (2 times 10^8 t - 2 x) z V/m
Então, a constante de propagação $ \gamma $ é $ 0,05 , m^{-1} $.

Passo 3

b) Encontrar o comprimento de onda ($ \lambda $)
O comprimento de onda é a distância entre dois pontos consecutivos da onda que estão em fase, ou seja, com a mesma fase da oscilação. A relação entre o número de onda $ k $ e o comprimento de onda $ \lambda $ é dada por:
lambda
Já sabemos que $ k = 2 , rad/m $. Vamos isolar $ \lambda $:
k
Portanto, o comprimento de onda $ \lambda $ é igual a $ \pi , metros $.

Passo 4

c) Determinar a velocidade da onda ($ v $)
A velocidade da onda está relacionada à frequência $ f $ e ao comprimento de onda $ \lambda $ pela equação:
v
Primeiro, vamos encontrar a frequência. Sabemos que a onda tem a forma $ \sin(2 \times 10^{8} t - 2 x) $, então o termo angular $ \omega $ é $ 2 \times 10^{8} , rad/s $. A relação entre $ \omega $ e $ f $ é:
f
Agora, usando $ \lambda = \pi , m $:
lambda
Assim, a velocidade da onda $ v $ é $ 10^{8} , m/s $.

Passo 5

d) Calcular a profundidade de penetração ($ \delta $)
A profundidade de penetração, também conhecida como profundidade de pele, indica a distância na qual a amplitude da onda decai para $ \frac{1}{e} $ (cerca de 36,8%) do seu valor original devido à atenuação no meio. A fórmula para $ \delta $ é:
de
Onde $ \gamma $ é a constante de propagação que já encontramos:
1e
Portanto, a profundidade de penetração $ \delta $ é de $ 20 $ metros.

Passo 6

e) Calcular a média temporal do vetor de Poynting na origem e a 100 comprimentos de onda da origem
O vetor de Poynting $ \boldsymbol{S} $ representa a densidade de fluxo de energia da onda eletromagnética e é dado por:
S
Como estamos lidando apenas com a componente elétrica, e sabendo que em um meio linear e isotrópico, as componentes magnéticas podem ser relacionadas através da impedância do meio, para simplificação, podemos usar a seguinte relação para a magnitude do vetor de Poynting:
S = 12 Re ( E times H^* )
Onde $ E_0 $ é a amplitude da onda elétrica e $ Z $ é a impedância do meio. Porém, como o meio não foi especificado, vamos assumir que o fator de atenuação já está incorporado na expressão da onda.
Na origem ($ x = 0 $):
lang<= S rang<= = E0^22 Z
A amplitude é $ 16 , V/m $. Assim, a média temporal do vetor de Poynting será proporcional a $ 16^2 $:
E0
A $ 100 $ comprimentos de onda da origem está em $ x = 100 \lambda $. Sabemos que a intensidade decai exponencialmente com a distância, então:
Z
Calculando o expoente:
x = 0
Então:
E(0, t) = 16 e^0 sin(2 times 10^8 t) z = 16 sin(2 times 10^8 t) z , V/m
Sem o valor de $ Z $, não podemos calcular numéricamente, mas percebemos que a intensidade na $ 100 $a onda é extremamente pequena devido ao fator exponencial.

Resposta

a) A constante de propagação é $ \gamma = 0,05 , m^{-1} $.
b) O comprimento de onda é $ \lambda = \pi , metros $.
c) A velocidade da onda é $ v = 10^{8} , m/s $.
d) A profundidade de penetração é $ \delta = 20 , metros $.
e) A média temporal do vetor de Poynting na origem é proporcional a $ \frac{256}{2Z} $ W/m² e a $ 100 $ comprimentos de onda da origem é aproximadamente $ \frac{2,94 \times 10^{-12}}{Z} $ W/m².

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