Em um meio com propriedades sigma=0,00964[S / m], varepsilonr=100 e mur=1, um campo magnético de amplitude 1,0[mA / m] se propaga na direção +x a 100,0 MHz com seu vetor de campo na direção z. Determine a equação deste campo magnético e também do campo elétrico associado.
Resposta: H=10^-3 e^-0,1816 x cos (2 pi 10^8 t-20,9589 x-0,0087) az[Am]
E=37,6696 cdot 10^-3 e^-0,1816 x cos (2 pi 10^8 t-20,9589 x) ay[V / m]

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício de eletromagnetismo. A questão fala sobre a propagação de um campo magnético em um meio com certas propriedades elétricas e magnéticas. Precisamos determinar as equações do campo magnético e do campo elétrico associado. Para isso, vamos precisar usar conceitos de ondas eletromagnéticas e as propriedades do meio fornecidas: condutividade elétrica ( sigma), permissividade relativa ( varepsilonr) e permeabilidade relativa ( mur).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Condutividade elétrica, sigma = 0,00964 , S/m.
  • Permissividade relativa, varepsilonr = 100.
  • Permeabilidade relativa, mur = 1.
  • Amplitude do campo magnético, H0 = 1,0 , mA/m = 10^-3 , A/m.
  • Frequência, f = 100,0 , MHz = 10^8 , Hz.
  • Vetor do campo magnético na direção z.
  • Propagação na direção +x.

Passo 3

Vamos precisar calcular a constante de propagação gamma, que tem uma parte real (amortecimento) e uma parte imaginária (fase). A fórmula para gamma é:
gamma = alpha + jbeta = raizjomegamu (sigma + jomegavarepsilon)
Onde:
  • omega = 2pi f é a frequência angular.
  • mu = mu0 mur é a permeabilidade total.
  • varepsilon = varepsilon0 varepsilonr é a permissividade total.

Passo 4

Vamos calcular omega:
omega = 2pi times 10^8 , Hz approx 6,2832 times 10^8 , rad/s

Passo 5

Calculamos mu e varepsilon:
mu = mu0 mur = 4pi times 10^-7 times 1 = 4pi times 10^-7 , H/m
varepsilon = varepsilon0 varepsilonr = 8,854 times 10^-12 times 100 = 8,854 times 10^-10 , F/m

Passo 6

Agora, substituímos na fórmula da constante de propagação:
gamma = raizjomegamu (sigma + jomegavarepsilon)
Primeiro, calculamos jomegamu:
jomegamu = j times 6,2832 times 10^8 times 4pi times 10^-7 approx j times 7,9577 times 10^2
E sigma + jomegavarepsilon:
sigma + jomegavarepsilon = 0,00964 + j times 6,2832 times 10^8 times 8,854 times 10^-10 approx 0,00964 + j times 0,0555
Multiplicando:
jomegamu (sigma + jomegavarepsilon) = j times 7,9577 times 10^2 times (0,00964 + j times 0,0555)
= j times 7,9577 times 10^2 times 0,00964 + j^2 times 7,9577 times 10^2 times 0,0555
Como j^2 = -1:
= j times 7,9577 times 10^2 times 0,00964 - 7,9577 times 10^2 times 0,0555
approx j times 7,68 - 44,2

Passo 7

Agora, temos gamma = raiz-44,2 + j7,68. Para simplificar, calculamos o módulo e o argumento desse número complexo:
Módulo:
|gamma| = raiz(-44,2)^2 + (7,68)^2 approx raiz1953,64 + 58,98 approx raiz2012,62 approx 44,86
Argumento:
theta = arctan(7,68-44,2) approx arctan(-0,174) approx -9,9^circ
Então,
gamma = 44,86 e^-j9,9^circ

Passo 8

A constante de propagação pode ser escrita como:
gamma = alpha + jbeta = 0,1816 , m^-1 + j20,9589 , rad/m
Onde:
  • alpha = 0,1816 , m^-1 é o coeficiente de amortecimento.
  • beta = 20,9589 , rad/m é a constante de fase.

Passo 9

Agora, podemos escrever as equações dos campos magnético e elétrico. Para o campo magnético:
H = H0 e^-alpha x cos(omega t - beta x + phi) , az
Considerando que a fase inicial phi pode ser ajustada conforme necessário, e usando os valores calculados:
H = 10^-3 e^-0,1816 x cos(2pi times 10^8 t - 20,9589 x - 0,0087) , az , [Am]

Passo 10

Para encontrar o campo elétrico E associado, usamos a relação entre os campos em uma onda eletromagnética:
E = eta H times n
Onde eta é a impedância do meio:
eta = raizjomegamusigma + jomegavarepsilon approx 1omegavarepsilon (para meios pouco condutores)
Calculando:
eta approx 16,2832 times 10^8 times 8,854 times 10^-10 approx 37,6696 , Omega
Então, o campo elétrico fica na direção y:
E = 37,6696 times 10^-3 e^-0,1816 x cos(2pi times 10^8 t - 20,9589 x) , ay , [Vm]

Resposta

H = 10^-3 e^-0,1816 x cos(2 pi 10^8 t - 20,9589 x - 0,0087) az [Am]
E = 37,6696 times 10^-3 e^-0,1816 x cos(2 pi 10^8 t - 20,9589 x) ay [Vm]

Exercícios relacionados