Por meio das regras apresentadas, derive as seguintes funções, reescrevendo-as na sua forma mais simplificada:
a) f(x)=2 pi+3
b) h(x)=3 x^2-5 x+71
c) f(t)=1,4 t^5-2,5 t^2+6,7
d) g(x)=-4x^3
e) h(s)=s^2(1-2 s)
f) f(x)=(2-x^3) cdot(3 x+1)
g) h(t)=t^2+2t-1
h) g(x)=x^2-x-1x-2
i) M(a)=(9 a+4)^2
j) S(p)=raizp-p
k) F(x)=raizx cdot(x-1)
l) f(x)=-73 x^3-raiz37
m) y=x^2+4 x+3raizx
n) y=raizx+xx^2
o) g(u)=raiz2 u+raiz2 u
p) j(x)=x^2,4+e^2,4
q) k(r)=e^r+r^e
r) y=e^x+1+1
s) y=Ax^5+B e^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de várias funções (itens de (a) a (s)), usando as regras de derivação (soma, potência, produto, quociente, cadeia e exponencial).

Passo 2

Para resolver vamos precisar das seguintes fórmulas:
• Regra da soma: (u+v)’=u’+v’
• Regra da constante: ©’=0
• Regra da potência: (x^n)’=n x^{n-1}
• Regra do produto: (u·v)’=u’·v+u·v’
• Regra do quociente: (u/v)’=(u’v−u v’)/v^2
• Regra da cadeia: (f(g(x)))’=f’(g(x))·g’(x)
• Derivada de exponencial: (ex)’=ex

Passo 3

Aplicando soma e potência (itens a a e):
  • (a) f(x)=2π+3 → f’(x)=0.
  • (b) h(x)=3x^2−5x+71 → h’(x)=6x−5.
  • © f(t)=1,4t5−2,5t2+6,7 → f’(t)=1,4·5t4−2,5·2t=7t4−5t.
  • (d) g(x)=−4/x3=−4x{−3} → g’(x)=−4·(−3)x{−4}=12x{−4}=12/x^4.
  • (e) h(s)=s2(1−2s)=s2−2s^3 → h’(s)=2s−6s^2.

Passo 4

Aplicando produto, quociente e cadeia (itens f a n):
  • (f) f(x)=(2−x^3)(3x+1) → f’(x)=(−3x2)(3x+1)+(2−x3)·3=−9x3−3x2+6−3x3=−12x3−3x^2+6.
  • (g) h(t)=(t^2+2)/(t−1) → h’(t)=(2t(t−1)−(t^2+2))/ (t−1)2=(t2−2t−2)/(t−1)^2.
  • (h) g(x)=(x^2−x−1)/(x−2) → g’(x)=((2x−1)(x−2)−(x2−x−1))/(x−2)2=(x2−4x+3)/(x−2)2.
  • (i) M(a)=(9a+4)^2 → M’(a)=2(9a+4)·9=18(9a+4).
  • (j) S§=√p−p=p^{1/2}−p → S’§=½p^{−1/2}−1=1/(2√p)−1.
  • (k) F(x)=√x·(x−1)=x^{1/2}(x−1) → F’(x)=½x{−1/2}(x−1)+x{1/2}= (x−1)/(2√x)+√x = (3x−1)/(2√x).
  • (m) y=(x2+4x+3)/√x=(x2+4x+3)x^{−1/2} → y’=(3x2+4x−3)/(2x{3/2}).
  • (n) y=(√x+x)/x2=x{−3/2}+x^{−1} → y’=−3/2 x{−5/2}−x{−2}.

Passo 5

Aplicando exponenciais e mistos (itens o a s):
  • (o) g(u)=√2·u+√(2u) → g’(u)=√2 + (1/2)(2u)^{−1/2}·2 = √2 +1/√(2u).
  • § j(x)=x{2,4}+e{2,4} → j’(x)=2,4 x^{1,4}+0.
  • (q) k®=er+re → k’®=e^r + e·r^{e−1}.
  • ® y=e^{x+1}+1 → y’=e^{x+1}.
  • (s) y=A/x^5 + B e^x = A x^{−5}+B e^x → y’=−5A x^{−6}+B e^x = −5A/x^6 + B e^x.

Resposta

a) f’(x)=0
b) h’(x)=6x−5
c) f’(t)=7t^4−5t
d) g’(x)=12/x^4
e) h’(s)=2s−6s^2
f) f’(x)=−12x3−3x2+6
g) h’(t)=(t2−2t−2)/(t−1)2
h) g’(x)=(x2−4x+3)/(x−2)2
i) M’(a)=18(9a+4)
j) S’§=1/(2√p)−1
k) F’(x)=(3x−1)/(2√x)
m) y’=(3x2+4x−3)/(2x{3/2})
n) y’=−3/2 x{−5/2}−x{−2}
o) g’(u)=√2 +1/√(2u)
p) j’(x)=2,4 x^{1,4}
q) k’®=e^r + e·r^{e−1}
r) y’=e^{x+1}
s) y’=−5A/x^6 + B e^x

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