Mostre que a série
sumn=1^infty 1n
é divergente.

Passo 1

Estamos analisando a série harmônica sumn=1^infty 1n. O conteúdo da matéria é séries numéricas e vamos usar o critério integral, que exige uma função contínua, positiva e decrescente para comparar a série à integral.

Passo 2

Escolhemos a função f(x)=1x, que satisfaz as hipóteses do critério integral em [1,infty). Pelo teste integral, se integral1^infty f(x),dx diverge, então a série sum f(n) também diverge.

Passo 3

Calculamos a integral impropria:
integral1^N 1x,dx = l[ln(x)r]1^N = ln(N) - ln(1) = ln(N)

Passo 4

Como ln(N)toinfty quando Ntoinfty, a integral diverge. Pelo critério integral, isso implica que a série harmônica também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty tfrac1n é divergente.

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