Por meio de uma série de testes em escoamento em tubulações, H. Darcy derivou uma equação para a perda por atrito no escoamento como
hL=f LD v^22 g
em que f é um coeficiente adimensional que depende de: (a) a velocidade média v do escoamento; (b) o diâmetro do tubo D; (c) a densidade do fluido rho; (d) a viscosidade do fluido mu; e (e) a rugosidade média da parede do tubo e (em unidades de comprimento). Utilizando o teorema de Buckingham pi, encontre uma função adimensional para o coeficiente f.

Passo 1

O enunciado pede para usar o teorema de Buckingham pi para encontrar como o coeficiente adimensional de atrito f depende das variáveis de escoamento em tubos: velocidade média v, diâmetro D, densidade rho, viscosidade mu e rugosidade média varepsilon. Vamos mostrar que
f = Phil(Re,,varepsilon/Dr),
onde Re=rho v D/mu.

Passo 2

Listamos as variáveis e suas dimensões fundamentais ( M, L, T):
[v]=L,T^-1,
[D]=L,
[rho]=M,L^-3,
[mu]=M,L^-1,T^-1,
[varepsilon]=L.

Passo 3

Temos n=5 variáveis e k=3 grandezas fundamentais, logo o número de grupos é m=n-k=2. Um desses grupos será f (já adimensional) e os outros dois englobarão as demais variáveis.

Passo 4

Escolhemos as variáveis repetidas rho, v e D. Para incluir mu, buscamos expoentes a,b,c tais que
rho^a v^b D^c mu seja adimensional. A dimensão é
;M^a+1L^-3a+b+c-1T^-b-1,
usando
a+1=0, -3a+b+c-1=0, -b-1=0
resulta a=-1, b=-1, c=-1. Logo
pi2=rho^-1v^-1D^-1mu=murho vD
Tomando seu inverso, definimos o número de Reynolds
Re=rho vDmu

Passo 5

Para a rugosidade varepsilon formamos um único grupo com as repetidas de dimensão comprimento, obtendo diretamente
pi3=varepsilonD

Passo 6

Pelo teorema de Buckingham pi, a relação geral é
pi1=f=Phi(pi2,pi3),
ou seja
f=Phil(Re,,varepsilon/Dr)

Resposta

f=Phil(Re,,varepsilon/Dr), em que Re=rho v D/mu e varepsilon/D é a rugosidade relativa.

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