Por meio de uma série de testes em escoamento em tubulações,
. Darcy derivou uma equação para a perda por atrito no escoamento como
em que
é um coeficiente adimensional que depende de: (a) a velocidade média
do escoamento; (b) o diâmetro do tubo
; (c) a densidade do fluido
; (d) a viscosidade do fluido
; e (e) a rugosidade média da parede do tubo
(em unidades de comprimento). Utilizando o teorema de Buckingham
, encontre uma função adimensional para o coeficiente
.
Passo 1
O enunciado pede para usar o teorema de Buckingham
para encontrar como o coeficiente adimensional de atrito
depende das variáveis de escoamento em tubos: velocidade média
, diâmetro
, densidade
, viscosidade
e rugosidade média
. Vamos mostrar que
onde
.
Passo 2
Listamos as variáveis e suas dimensões fundamentais (
,
,
):
,
,
,
,
.
Passo 3
Temos
variáveis e
grandezas fundamentais, logo o número de grupos é
. Um desses grupos será
(já adimensional) e os outros dois englobarão as demais variáveis.
Passo 4
Escolhemos as variáveis repetidas
,
e
. Para incluir
, buscamos expoentes
tais que
seja adimensional. A dimensão é
,
usando
usando
resulta
,
,
. Logo
Tomando seu inverso, definimos o número de Reynolds
Passo 5
Para a rugosidade
formamos um único grupo com as repetidas de dimensão comprimento, obtendo diretamente
Passo 6
Pelo teorema de Buckingham
, a relação geral é
ou seja