Seja S a parte da superfície do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, que se acha no interior do cilindro x^{2}+y^{2}=4 x. Calcule a área de S.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte da superfície do cone
z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}
que está acima da região no plano xy determinada pelo cilindro projetado
x^{2} + y^{2} = 4x.
Para isso, usamos a fórmula de área de superfície para uma gráfica z = f(x,y):
\text{Área} = \iint_{D} \sqrt{1 + f_{x}^{2} + f_{y}^{2}}\;dA,Á
onde D é a projeção da superfície no plano xy.

Passo 2

Encontramos D resolvendo
x^{2} + y^{2} = 4x \quad\Longrightarrow\quad (x-2)^{2} + y^{2} = 4,
que é um disco de raio 2 centrado em (2,0).

Passo 3

Definimos f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Calculamos as derivadas parciais:
f_{x} = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, \quad f_{y} = \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},
então
1 + f_{x}^{2} + f_{y}^{2} = 1 + \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}} = 1 + 1 = 2.
Logo o integrando é constante:
\sqrt{1 + f_{x}^{2} + f_{y}^{2}} = \sqrt{2}.

Passo 4

A área da superfície é
\text{Área} = \iint_{D} \sqrt{2}\;dA = \sqrt{2} \cdot \bigl(\text{área do disco de raio }2\bigr) = \sqrt{2}\cdot (\pi\cdot 2^{2}) = 4\pi\sqrt{2}.Áá

Resposta

A área de S é 4\pi\sqrt{2}.

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