Por meio de uma translação dos eixos coordenados, transforme as equações dadas para a nova origem indicada.
4 x^{2}-y^{2}-24 x+4 y+28=0, \bar{O}=(3,2)

Passo 1

O enunciado dá a cônica
4x^{2}-y^{2}-24x+4y+28=0
e pede a forma desta equação após translação de origem para \bar O=(3,2). O conteúdo aqui é mudar de variável por translação de eixos, isto é, completar quadrados via substituição.

Passo 2

Definimos novas coordenadas (X,Y) com origem em \bar O, isto é
x = X + 3, \quad y = Y + 2.

Passo 3

Substituímos na equação original:
4\,(X+3)^{2} - (Y+2)^{2} - 24\,(X+3) + 4\,(Y+2) + 28 = 0.
Expandindo cada termo:
4\bigl(X^{2}+6X+9\bigr) \;-\;\bigl(Y^{2}+4Y+4\bigr)\;-\;24X-72\;+\;4Y+8\;+\;28 = 0.

Passo 4

Agrupando termos semelhantes:
- Para X^{2}: 4X^{2}.
- Para X: 24X - 24X = 0.
- Para Y^{2}: -Y^{2}.
- Para Y: -4Y + 4Y = 0.
- Constantes: 36 - 4 - 72 + 8 + 28 = -4.
Logo sobra
4X^{2} - Y^{2} - 4 = 0
ou equivalentemente
4X^{2} - Y^{2} = 4.

Resposta

4X^{2} - Y^{2} - 4 = 0,
onde (X,Y) são as coordenadas relativas à nova origem \bar O=(3,2).

Exercícios relacionados