Tome \bar{O} \overline{x y} o sistema de eixos do plano que é a translação do sistema Oxy para a nova origem \bar{O}=(1,1), i.e., \bar{x}=x-1 e \bar{y}=y-1.
a) Dado o ponto P=(1,4) no sistema O x y, encontre as coordenadas de P no sistema \bar{O} \overline{x y}.
b) Dado o ponto A=(2,1) no sistema \bar{O} \overline{x y}, encontre as coordenadas de A no sistema O x y.
c) Considere a reta \mathcal{L} que no sistema O x y tem equação 2 x-3 y+4= 0 . Qual seria a equação de \mathcal{L} no sistema \bar{O} \overline{x y} ? Mudando-se a equação, muda-se \mathcal{L} de lugar? O desenho muda?
d) Dada a curva \mathcal{C}, do plano, cujos pontos têm coordenadas (x, y), no sistema O x y, satisfazendo a equação x^{2}-4 x+y^{2}-6 y=12, encontre a equação que os pontos de \mathcal{C} com coordenadas ( \bar{x}, \bar{y} ) no sistema \bar{O} \overline{x y} devem satisfazer nas variáveis \bar{x} e \bar{y}.
Passo 1
O enunciado define um novo sistema de eixos \bar{O}\bar{x}\bar{y} obtido por translação do sistema Oxy de modo que a nova origem é \bar{O}=(1,1). Dessa forma vale
\bar{x}=x-1,\quad \bar{y}=y-1
e, invertendo,
x=\bar{x}+1,\quad y=\bar{y}+1.
Vamos usar essas relações para converter coordenadas e expressões de equações de reta e curva.
Passo 2
(a) Para o ponto P=(1,4) no sistema Oxy basta aplicar
\bar{x}=1-1=0,\qquad \bar{y}=4-1=3.
Logo, em \bar{O}\bar{x}\bar{y} temos P=(0,3).
Passo 3
(b) Dado A=(2,1) no sistema \bar{O}\bar{x}\bar{y}, voltamos a Oxy por