Tome \bar{O} \overline{x y} o sistema de eixos do plano que é a translação do sistema Oxy para a nova origem \bar{O}=(1,1), i.e., \bar{x}=x-1 e \bar{y}=y-1.
a) Dado o ponto P=(1,4) no sistema O x y, encontre as coordenadas de P no sistema \bar{O} \overline{x y}.
b) Dado o ponto A=(2,1) no sistema \bar{O} \overline{x y}, encontre as coordenadas de A no sistema O x y.
c) Considere a reta \mathcal{L} que no sistema O x y tem equação 2 x-3 y+4= 0 . Qual seria a equação de \mathcal{L} no sistema \bar{O} \overline{x y} ? Mudando-se a equação, muda-se \mathcal{L} de lugar? O desenho muda?
d) Dada a curva \mathcal{C}, do plano, cujos pontos têm coordenadas (x, y), no sistema O x y, satisfazendo a equação x^{2}-4 x+y^{2}-6 y=12, encontre a equação que os pontos de \mathcal{C} com coordenadas ( \bar{x}, \bar{y} ) no sistema \bar{O} \overline{x y} devem satisfazer nas variáveis \bar{x} e \bar{y}.

Passo 1

O enunciado define um novo sistema de eixos \bar{O}\bar{x}\bar{y} obtido por translação do sistema Oxy de modo que a nova origem é \bar{O}=(1,1). Dessa forma vale
\bar{x}=x-1,\quad \bar{y}=y-1
e, invertendo,
x=\bar{x}+1,\quad y=\bar{y}+1.
Vamos usar essas relações para converter coordenadas e expressões de equações de reta e curva.

Passo 2

(a) Para o ponto P=(1,4) no sistema Oxy basta aplicar
\bar{x}=1-1=0,\qquad \bar{y}=4-1=3.
Logo, em \bar{O}\bar{x}\bar{y} temos P=(0,3).

Passo 3

(b) Dado A=(2,1) no sistema \bar{O}\bar{x}\bar{y}, voltamos a Oxy por
x=\bar{x}+1=2+1=3,\qquad y=\bar{y}+1=1+1=2.
Assim, em Oxy o ponto é A=(3,2).

Passo 4

(c) A reta \mathcal{L} em Oxy é dada por
2x-3y+4=0.
Substituindo x=\bar{x}+1 e y=\bar{y}+1 obtemos
2(\bar{x}+1)-3(\bar{y}+1)+4=0 \;\Longrightarrow\; 2\bar{x}-3\bar{y}+3=0.
Essa é a mesma reta geometricamente: apenas a equação muda de forma algébrica, mas a posição e o desenho não se alteram.

Passo 5

(d) A curva \mathcal{C} satisfaz em Oxy
x^{2}-4x+y^{2}-6y=12.
Fazendo x=\bar{x}+1, y=\bar{y}+1 e expandindo:
(\bar{x}+1)^{2}-4(\bar{x}+1)+(\bar{y}+1)^{2}-6(\bar{y}+1)=12
\bar{x}^{2}+2\bar{x}+1-4\bar{x}-4+\bar{y}^{2}+2\bar{y}+1-6\bar{y}-6=12
\bar{x}^{2}-2\bar{x}+\bar{y}^{2}-4\bar{y}-8=12 \;\Longrightarrow\; \bar{x}^{2}-2\bar{x}+\bar{y}^{2}-4\bar{y}=20.

Resposta

(a) P=(0,3) no sistema \bar{O}\bar{x}\bar{y}.
(b) A=(3,2) no sistema Oxy.
(c) Equação em \bar{O}\bar{x}\bar{y}:
2\bar{x}-3\bar{y}+3=0.
A reta não se desloca; apenas sua equação muda de forma.
(d) Equação em \bar{O}\bar{x}\bar{y}:
\bar{x}^{2}-2\bar{x}+\bar{y}^{2}-4\bar{y}=20.

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