Por meio de uma translação escreva a equação da cônica na forma padrão e identifique seus elementos principais.
x^2+y^2+2 x-4 y=20

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
x^2+y^2+2x-4y=20
e pede que a escrevamos na forma padrão por meio de translação, identificando seus elementos principais. Como os coeficientes de x^2 e de y^2 são iguais e não há termo xy, trata-se de um círculo. Vamos usar completar quadrados e depois definir novas variáveis para a translação.

Passo 2

Agrupamos termos em x e em y e completamos quadrados:
x^2+2x + y^2-4y = 20
Para x:
x^2+2x = (x+1)^2 - 1
Para y:
y^2-4y = (y-2)^2 - 4
Substituindo na equação e somando as constantes:
(x+1)^2 - 1 + (y-2)^2 - 4 = 20
(x+1)^2 + (y-2)^2 - 5 = 20
(x+1)^2 + (y-2)^2 = 25

Passo 3

Definimos a translação
X = x + 1, Y = y - 2,
para que a equação fique na forma mais simples:
X^2 + Y^2 = 25

Passo 4

Na forma padrão de um círculo
X^2 + Y^2 = r^2,
vemos que r^2=25, logo r=5. Como o centro em (X,Y) é (0,0), o centro em (x,y) é (-1,2).

Resposta

(x+1)^2 + (y-2)^2 = 25,
centro (-1,2), raio 5.

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