Seja l a reta de equação x=2 e considere o ponto F(-1,0). Identifique o lugar geométrico dos pontos P(x, y) tais que |F P|=e dist(P ; l), sendo:
(b) e=1 / 2
(c) e=2.

Passo 1

O enunciado define o lugar geométrico de P(x,y) tal que a distância ao foco F(-1,0) satisfaz
|FP| = e,dist(P; l),
onde a reta direta é l:,x=2 e dist(P; l)=|x-2|. O conteúdo é a equação geral de cônicas via foco-diretriz. Vamos usar a definição
raiz(x+1)^2 + y^2 = e,|x-2|
e elevar ao quadrado para obter a forma algébrica.

Passo 2

Elevar ao quadrado a relação geral:
(x+1)^2 + y^2 = e^2,(x-2)^2
Isso é válido pois ambos os lados são não negativos. A partir desse ponto basta escolher e e reorganizar.

Passo 3

Para e=tfrac12 temos e^2=tfrac14. Substituindo:
(x+1)^2 + y^2 = tfrac14,(x-2)^2
Multiplicando tudo por 4:
4(x+1)^2 + 4y^2 = (x-2)^2
Expandindo e recolhendo termos:
4(x^2 +2x+1) +4y^2 = x^2 -4x +4
4x^2 +8x +4 +4y^2 -x^2 +4x -4 =0
3x^2 +12x +4y^2 =0
Completar quadrado em x:
3l((x+2)^2 -4r) +4y^2 =0
3(x+2)^2 +4y^2 =12
(x+2)^24 + y^23 =1
É uma elipse com centro em (-2,0), semieixos a=2 e b=raiz3.

Passo 4

Para e=2 tem-se e^2=4. A equação vira
(x+1)^2 + y^2 =4,(x-2)^2
Expandindo:
x^2 +2x +1 +y^2 =4x^2 -16x +16
0 =4x^2 -16x +16 -x^2 -2x -1 -y^2
3x^2 -18x +15 -y^2 =0
Completar quadrado em x:
3l((x-3)^2 -9r) +15 -y^2 =0
3(x-3)^2 -27 +15 -y^2 =0
3(x-3)^2 - y^2 =12
(x-3)^24 - y^212 =1
É uma hipérbole centrada em (3,0), eixo transverso ao longo de x, com semi-eixo a=2 e b=2raiz3.

Resposta

(b) O lugar geométrico é a elipse
(x+2)^24 + y^23 =1
(c) O lugar geométrico é a hipérbole
(x-3)^24 - y^212 =1

Exercícios relacionados