Seja
a reta de equação
e considere o ponto
. Identifique o lugar geométrico dos pontos
tais que
, sendo:
(b)
e=1 / 2
(c)
e=2 .
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado define o lugar geométrico de
P(x,y) tal que a distância ao foco
F(-1,0) satisfaz
onde a reta direta é
l:,x=2 e
dist(P; l)=|x-2| . O conteúdo é a equação geral de cônicas via foco-diretriz. Vamos usar a definição
e elevar ao quadrado para obter a forma algébrica.
Passo 2
Elevar ao quadrado a relação geral:
Isso é válido pois ambos os lados são não negativos. A partir desse ponto basta escolher
e e reorganizar.
Passo 3
Para
e=tfrac12 temos
e^2=tfrac14 . Substituindo:
Multiplicando tudo por
4 :
Expandindo e recolhendo termos:
Completar quadrado em
x :
É uma elipse com centro em
(-2,0) , semieixos
a=2 e
b=raiz3 .
Passo 4
Para
e=2 tem-se
e^2=4 . A equação vira
Expandindo:
Completar quadrado em
x :
É uma hipérbole centrada em
(3,0) , eixo transverso ao longo de
x , com semi-eixo
a=2 e
b=2raiz3 .
Resposta
(b) O lugar geométrico é a elipse
(c) O lugar geométrico é a hipérbole